反求工程中对测量数据进行优化的研究
　
　 [摘要] 　由三坐标测量机测量获得的数据具有一定的杂乱性,难以直接用于通用CAD 软件的反求工程设计中。采用参数样条方法对测量数据进行优化,生成利于反求曲面重构需要的数据点,可达到提高曲面反求速度和光顺效果的目的。
叙词:反求工程,参数样条,优化

A Study on Measured Data Optimization in Reverse Engineering
 
 [ Abstract] 　The data measured by coordinate measuring machine can not been used directly for reverse en2gineering by general - purpose CAD software because of it s litteriness1To improve the efficiency and smoothingeffect of surface const ruction ,paramet ric spline function is used to optimize the data measured by coordinate mea2suring machine1
Keywords :Reverse engineering , Parametric spl ine ,Optimization

1 　引言
在汽车模型的反求工程设计中,反求数据在许多情况下是通过三坐标测量机测量汽车模型的表面获得的。三坐标测量机由于其自身结构的特点其测量数据量一般不是很大,对于一些需要大量数据点的反求软件如Surfacer1010 无法应用,但对于U G、Pro/ E 等主要以特征线构造曲面的软件来说是足够的。汽车模型的三维数据在获取过程中往往受到多种因素的影响: ①三坐标测量机在测量过程中容易受到人为因素的影响,测量过程中测量点的位置难以精确控制,从而造成测量数据具有一定的杂乱性,这种杂乱性不利于车身曲面的重建; ②用于测量的汽车模型一般为初始造型模型,在制造过程中往往是由手工完成,制作误差在所难免,特别是在制作自由曲面时,曲面上的曲率变化难以做到光顺。车身模型曲面测量获得的数据若不经过优化处理而直接用于反求曲面生成,不仅工作量大,而且难以获得良好的车身CAD 数学模型。因此需要通过一些方法来对这些测量数据进行优化,生成良好的数据点,加快在U G、Pro/ E 中反求模型的生成和提高反求模型的效果。
2 　数据点优化的数学模型
2.1 数据优化的方法及相应数学模型的选择
数据优化的方法一般是利用现有的数据点在某种数学模型中生成曲线,再利用该数学模型建立的曲线函数生成需要的数据点。优化生成的数据点数可以根据反求所用的CAD 软件的需要来进行控制。现在的三坐标测量机会有相应的测量数据坐标文本论文,通过编写程序读取坐标文本论文中的数据,并根据需要对数据输出的结果进行控制。由于通过三坐标测量机获取的均是实际模型上的三坐标数据点,在对这些数据进行优化的时候,优化所得的数据点应尽量满足其坐标对原模型的拟合性,即优化数据点的位置应尽量落在或靠近侧量曲面上,这样才能保证对原模型的反求精度。一些数学模型如Bezier 方法虽然可利用数据点很好地生成自由曲线,但其生成的曲线仅通过数据点的两端,如图1 所示。在反求数据点具有单调凸凹性时,采用Bezier 方法得到的优化数据点的误差就很大,从而影响反求曲面的仿型性。如图1 所示,由
V 0 、V 1 、V 2 、V 3 构造数据点生成的反求曲线与构造数据点之间偏差较大。
图1 　Bezier 曲线的作图法
　　对于单独的曲线优化,参数样条方法的优点很突出[ 1 ] 。无论数据点的分布是否均匀,均可以用参数样条方法构造良好的插值曲线。参数样条方法还可以处理斜率无穷大的情况,具有几何不变性,便于作坐标变化和易于处理多值曲线。同时,其构造的参数样条曲线通过所有的构造数据点,因而用于单条曲线的处理其优点较为突出。由于参数样条方法的众多优点,选定采用参数样条方法来对测量数据点进行优化。
2.2 　参数样条函数的数学模型
2.2.1 　参数样条函数的概念　对于一组数据点
Pi ( x i , yi , z i) , i = 0 ,1 , ⋯, n ,需要构造三个关于参数u 的插值三次样条函数
x = x ( s) , y = y ( s) , z = z ( s)
它们分别插值于点集( si , x i) , ( si , yi) 和( si , z i) , i= 0 ,1 , ⋯n 。而后, 再将三者合并, 形成三次参数样条曲线P( s) = [ x ( s) 　y ( s) 　z ( s) ] 。参数s 为累加弧长,由式(1) 计算得到。s0 = 0
sk = Σkj = 1l k = Σkj = 1| Pj - 1 - Pj= Σkj = 1[ ( x j - x j - 1) 2 + ( yj - yj - 1) 2 +　( z j - z j - 1) 2 ]1/ 2 (1)
式中k = 1 ,2 , ⋯, n
2.2.2 　参数样条函数的建立[1 - 4 ] 　由三坐标测量
机测量得到的一列数据根据公式(1) 计算得到一张数据表(表1) 。
表1
s s0   s1   s2 ⋯ s n 
x x 0  x 1  x 2 ⋯ x n 
y y0   y1  y2 ⋯ y n 
z z 0  z 1  z 2 ⋯ z n 
表2
x x 0   x 1 ⋯ x n 
s  s0   s1 ⋯ s n 
现取其中一列数组(表2) 来进行计算。利用前后两曲线段在数据点处的二阶导数相连续的条件x″j ( s -j ) = x″j +1 ( s+j ) , ( j = 1 ,2 , ⋯, n - 1)

进行相应的运算并简化得到
[hj +1/(hj + hj +1)]mj - 1 + 2 mj +[hj/(hj + hj +1)]mj +1=
3{[hj +1/（hj + hj +1）]*[（x j - x j – 1）/hj]+ [hj/(hj + hj +1)]*[(x j +1 - x j)/hj +1]}    (2)
式中hj = sj - sj - 1 , mj 为数据点斜率。现在可在整条曲线的首、末两端指定端点条件
2 m0 + m1 =3 ( x1 - x0)/（s1 - s0）
mn - 1 + 2 mn =3 ( x n - x n - 1)/（hn - hn – 1 ）  (3)
综合式(2) 和式(3) ,便可求解mi ( i = 0 ,1 , ⋯, n) 。
求得各数据点处的斜率mi ( i = 0 ,1 , ⋯, n) 后,可由式(4) 及相应的公式计算插值三次参数样条函数的函数值,通过函数值可用以绘制曲线及获得优化数据。
　x ( s) = mj – 1[( sj - s) 2 ( s - sj - 1)/h2j]-mj[( s - sj - 1) 2 ( sj - s)/h2j]+x j – 1[( sj - s) 2 [2 ( s - sj - 1) + hj ]/h3j]
 +x j[( s - sj - 1) 2 [2 ( sj - s) + hj ]/h3j]      (4)
式中hj = sj - sj - 1 , sj - 1 ≤s ≤sj ( j = 1 ,2 ⋯, n) 。
求解出x = x ( s) 后,若需要k 个优化数据点,，则分别将( l/ k) s , ( l = 0 ,1 ,2 ⋯, k) 代入(4) 式进行计算即可得到优化数据点的x 值。依据同样的计算步骤,可分别求出y = y ( s) 和z = z ( s) ,并求出相应优化数据点的y 值和z 值。
3 　程序的编写
根据三次参数样条函数的计算方法,使用VB依据其计算步骤编写程序,并相应编写可对输出结构进行控制的操作界面。程序流程图如图2 所示。
 图2 　数据优化程序流程图
4 　优化测量数据并生成反求曲面
此文以对一新概念车模型的车顶盖、后挡风玻璃及后行李箱盖的整体曲面进行反求测量为例,其测量数据点的排列如图3 (a) 所示。数据点的排列和数量都很不一致,同时由于模型上的制作缺陷导致一些数据无法得到,这对于反求曲面构造特征线的生成是很不利的。运行优化程序对车顶盖、后挡风玻璃及后行李箱盖整体曲面的测量数据进行优化,并根据整体曲面的长度统一设定每列测量数据点生成的优化数据为40 个,优化后得到的数据点如图3 (b) 所示。可见优化后数据点的排列和数量都很规整,同时对部分无法测量的数据也进行了拟合。如图3 (a) 底部的数据点由于突然凹入的车辆牌照造型使测量探头无法接触其造型曲面,从而无法获取测量数据点,而优化后的数据补充了该部分的空间整体曲面,从而有利于反求曲面构造特征线的生成。利用优化后的数据点在U G中生成的曲面构造特征线如图3 (c) 所示。利用该曲面构造特征线,可方便地在U G中生成光顺的反求曲面。
图3 　优化数据前后比较及生成的曲面构造网格线
依次对车模型的前挡风玻璃和前后保险杠及车身侧围进行数据优化和曲面构造网格线生成,如图4 (a) 所示。利用该构造网格线可在U G中快速生成反求曲面,将其镜像出另一半后,即可获得整车的反求曲面CAD 模型,如图4 (b) 所示。
图4 　整车模型反求曲面的构造网格线及CAD 模型
5 　小结
利用三次参数样条数学模型对散乱的测量数据点进行优化后,可方便地生成曲面构造特征网格线,从而高效地生成反求曲面,提高了曲面反求的速度和光顺的效果。

参考文献
1 　朱心雄　等. 自由曲线曲面造型技术. 北京:科学出版社,2000
2 　苏步青,刘鼎元. 计算几何. 上海:上海科学技术出版社,1981
3 　唐荣锡等. 计算机辅助飞机制造. 北京:国防工业出版社,1985
4 　张永曙,刘克轩,蒋大为. 计算机辅助几何设计方法1 西安:西北
工业大学出版社,1986

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