2．线性相位FIR滤波器的特点

FIR数字滤波器的单位冲激响应h(n)是有限长的,0≤n≤N-1,它的Z 

变换即系统函数为：

它有(N-1)阶极点在Z=0处,有(N-1)个零点在有限Z平面的任意位置。

2.1．线性相位条件

h(n)的频率响应为

=                           （2.1.1）

当h(n)为实序列时，可将表示成

                =             （2.1.2）

其中是真正的幅度响应，而是可正可负的实函数，有两类准确的线性相位，分别要求满足：

                                   （2.1.3）

                                 （2.1.4）

其中，都是常数，表示相位是通过坐标原点或是通过的斜直线，二者的群时延都是常数。

对（2.1.3）式，满足线性相位条件的充分必要条件是：

，，                   （2.1.5）

N为偶数时，延时为整数；N为奇数时，延时为整数加半个抽样周期。

对（2.1.4）式，满足线性相位条件的充分必要条件是：

，，，         （2.1.6）

这种线性相位情况和前一种不同之处是，除了产生线性相位外，还有的固定相移。

2.2．线行相位FIR滤波器频率响应的特点

我们已经知道，线行相位FIR滤波器的冲激响应应该满足式（2.1.5）和（2.1.6），即

，

因而系统函数可表示为

即

                            （2.2.1）

进一步写成

             （2.2.2）

在这一公式中，方括号中有“”号。当取“+”时，满足偶对称；当取“-”时，满足奇对称。下面分别讨论这两种情况。

a．偶对称

由（2.2.2）式可知，频率响应为

            （2.2.3）

将此式与（2.1.2）对比，可得幅度函数为

                                    （2.2.4）

相位函数为

                                                （2.2.5）

图2.2.1 偶对称时的线性相位特性

b．奇对称

同理可得频率响应为

       =          （2.2.6）

将此式与（2.1.2）式相比较，可得幅度函数为

                    （2.2.7）

相位函数为

+                             （2.2.8）

由于产生一个90度相移，使其成为设计希尔伯特变换器和微分器的理论基础，具有重要的理论和现实意义。图2.2.2表示了奇对称时90度相移线性相位特性。由图中可以看出，曲线仍是一条直线，只不过向上移了90度。

                 图2.2.2 奇对称时90度相移线性相位特性

2.3．幅度函数的特点

下面分四种情况分别讨论的特点。

a．偶对称，N为奇数

，n=1,2,…,             (2.3.1)

由此看出，当为偶对称，N为奇数时，由于对于皆为偶对称，所以幅度函数对也呈偶对称。

b. 偶对称，N为偶数

，n=1,2,…,                  （2.3.2）

由此看出，在此情况下有以下特点：

⑴ 当时， ,故，也就是在z=-1处必然有一个零点；

⑵ 由于对奇对称，所以对呈奇对称，对呈偶对称；

⑶ 如果一个滤波器在时，不为零（例如高通滤波器或带阻滤波器），则不能用这种滤波器。

c．奇对称，N为奇数

，n=1,2,…,              （2.3.3）

由此看出，当为奇对称，N为奇数时，有以下特点：

⑴ 由于在处必为零，因此在处必为零，也就是在处都为零；

⑵ 由于在处呈奇对称，故对也呈奇对称。

d．奇对称，N为偶数

，n=1,2,…,                  （2.3.4）

由此看出，当为奇对称，N为偶数时，有以下特点：

⑴ 由于在处为零，所以在处也为零。即在z=1处为零点；

⑵ 由于在处呈奇对称，在处呈偶对称，故在处呈奇对称，在处呈偶对称。

c．和d．两种线性相位FIR滤波器适合于在微分器及90度移相器（希尔伯特变换器）中应用。

2.4．零点位置

由（2.2.1）式可知，和两者只差N-1个抽样的延时及的乘因子，其他则完全相同。因为它们是有限长的z变换，因而都是z或的多项式。

⑴ 若是的零点，即=0，则=也一定是的零点，因为由（2.2.1）式知。

⑵ 由于是实数，所以的零点必然是以共轭对存在的，因而及，也一定是的零点。

综合⑴、⑵两点可知，线性相位FIR数字滤波器的零点必是互为倒数的共轭对，或者说是共轭镜像的。有以下四种情况：

① 零点既不在实轴上，也不在单位圆上，即，，零点是两组互为倒数的共轭对。

② 零点在单位圆上，但不在实轴上，即或，此时零点的共轭值就是它的倒数。

③ 零点在实轴上，但不在单位圆上，即，或，此时零点是实数，它没有共轭部分，只有倒数，倒数也在实轴上。

④ 零点既在实轴上也在单位圆上，即，或，这时零点只有两种可能情况，即。这时的零点既是自己的复共轭，又是倒数[4]。

显然，线性相位FIR滤波器的只可能是由以上这几种因子的组合而构成。

要设计出满足实际需要的FIR数字滤波器，也就必须了解FIR数字滤波器的各种特性，同时遵循有关的约束条件。

3．FIR数字滤波器的设计方法

设计FIR数字滤波器的基本方法有窗函数法、频率抽样设计法、和等波纹最佳逼近法，它们主要是针对选频型滤波器（低通、高通、带通和带阻滤波器）的设计，此种滤波器的设计指标是类似的，典型的指标为通带波动和阻带衰减。在FIR数字滤波器的设计中，还会涉及如微分器和希尔伯特变换器之类的系统，这类非选频型滤波器的设计也遵循以上方法，更完善的设计则是基于任意频域指标的。

本次设计，我将采用等波纹最佳逼近法，尽管使用常规的窗函数法和频率抽样设计法都能完成FIR DF的设计要求，但它们都不是最优化的设计。在此，只简单地介绍前面两种方法，而详细讨论第三种方法。

3.1．窗函数法

窗函数法又称傅立叶级数法，是一种通过截短和计权使无限长非因果序列为有限长冲激响应序列的设计方法，其设计是在时域进行的。设需设计的理想滤波器的频率响应和单位冲激响应分别为和，是的傅立叶反变换，它可表示为：

                 （3.1.1）

一般是无限长且非因果的，设计时需用一个合适的窗函数把截成有限厂长的因果序列，使对应的频率响应（的傅立叶反变换）尽可能好的逼近理想频率响应。为实际所设计出的滤波器的单位冲激响应，其表达式为：

                                  （3.1.2）

式中w(n)是窗函数，根据的特点和设计要求确定窗函数的形状和滤波器的阶数是这种方法的关键。常见的窗函数有矩形窗、三角窗、海宁窗、海明窗、布莱克曼窗以及凯塞窗等，它们的参数和性能都有现成表格可查。它的设计任务主要是根据给定的频率指标确定窗函数的类型和窗函数的长度。因此窗函数法具有简单方便、计算程序相对简单、可以用来设计任何给定频率响应滤波器等优点[6]。

窗函数法的主要缺点：

⑴ 不容易设计预先规定截止频率的滤波器。

⑵ 满足同样设计指标的情况下所设计出的滤波器的阶数通常偏大。

3.2．频率取样设计法

频率取样设计法是一种应用频率抽样理论的设计方法，通常有均匀离散抽样和非均匀离散抽样两种形式。在给定滤波器频率特性下,频率取样设计法的中心任务就是对采样的点数、过渡带中的“非约束”频率采样点的个数及其取值大小进行优化，它主要应用于频率特性非零值抽样点数目较少的场合。采用均匀离散取样时，可能出现采样点数目与准确控制截止频率位置的矛盾，引起截止频率位置误差或采样个数较大的不足,当采用非均匀离散取样时可以解决该矛盾。这种方法的突出优点是可以在频域直接进行设计，而且在设计选频型滤波器时可通过优化设计减小逼近误差。其缺点在于截止频率的取值受限，另外，因为赖以进行优化设计的变量仅限于过渡带上的少数自由样本点，故这种设计不是最佳设计[8]。

下面我们重点讨论本此设计将采用的方法：

3.3．等波纹最佳逼近法

最优化设计是将所有抽样值皆作为变量，在某一优化准则下，通过计算机进行迭代运算，以得到最优的结果，它克服了窗函数法和频率抽样法在该区间内误差分布不均的共同缺陷。

设计FIR数字滤波器可以有两种最优化准则，即均方误差最小原则和最大误差最小化原则。在本次设计中我们将采用后一种原则，因为其设计的滤波器在同样阶数时性能更加优越。

⑴ 最大误差最小化准则

该准则也称切比雪夫等波纹逼近。首先，由于在滤波器设计中通带与阻带误差性能的要求是不一样的，为了统一使用最大误差最小化准则，我们将线性相位FIR滤波器的四种情况的频率响应都写成如下形式：

                       （3.3.1）

其中值和表达式由下表给出。

利用三角函数恒等式，可将上面每个表达式写成一个的固定函数（称其为）与一个余弦和的函数（称其为）的乘积。因此

=                              （3.3.2）

式中具有形式为

=                              （3.3.3）

对于四种情况的，，L由下表给出。

表3.3.1   线性相位FIR滤波器振幅响应和

           表3.3.2  线性相位FIR滤波器的，，L

这一分析的目的就是为了对于这四种情况有一个的共同形式，这将会对问题的系统描述更为容易。   

现在，我们要引出加权切比雪夫等波纹逼近问题。采用误差函数加权的方法，使不同频段（例如通带与阻带）的加权误差最大值是相等的。设所要求的（已给定）滤波器的频率响应的幅度函数为，用线性相位四种FIR滤波器之一的幅度函数做逼近函数，设逼近误差的加权函数为，则加权逼近误差函数定义为

          =[-]                      （3.3.4）

由于在不同频带中误差函数[- H(ω)]的最大值不一样，故不同频带中值可以不同，在公差要求严的频带上可以采用较大的加权值，而公差要求低的频带上，加权值可以取较小值。这样使得在各频带上的加权误差要求一致（即最大值一样）。

将（3.3.2）代入（3.3.4）式，得到加权逼近函数的最终表达式为：

=[-]，

其中             =，

=，                            （3.3.5）

利用这一表达式，线性相位FIR滤波器的加权切比雪夫等波纹逼近问题可看成是求一组系数[可表示或或或]，使其在完成逼近的各个频带上（不包括过渡带），的绝对值达到极小，如果用表示这个极小值，则

=                       （3.3.6）

其中A表示所研究的各通带和阻带。

对于线性相位FIR滤波器设计的切比雪夫等波纹逼近法，帕克斯（Parks）和麦克伦（McClellan）引进逼近理论的一个定理，得出如下的交错定理。

⑵ 交错定理

若是r个余弦函数的线性组合，即

=                             （3.3.7）

A是（0，）内的一个闭区间（包括各通带和阻带，但不包括过渡带），是A上的一个连续函数，那么，是的唯一和最佳的加权切比雪夫逼近的充分必要条件是：

加权逼近误差函数在A中至少有（r+1）个点,且〈〈〈…〈〈,使得

=-,      i=1,2,3,…,r

 并且

             ︱︱=[],         

现在以低通滤波器的频率响应为例，低通滤波器的共有五个参数，即,,,和相应的单位抽样响应的长度N。为通带频率，为阻带频率，为通带容度（或波纹），为阻带容度（或波纹）。

若选取

              ，在通带

=

               1， 在阻带                              （3.3.8）

这样在通带和阻带的最大误差都是。因此如果能成功地将最大加权误差最小化到，那么也就自动满足了在通带内对的指标要求。

交错定理确保最大最小近似问题的解存在且是唯一的,但是它并没有告诉我们如何求得这个解.我们是既不知道长度N(或等效L),也不知道极值频率,也不知道参数,也不知道最大误差。Parks和McClellan利用Remez交换算法提供了一种迭代解.它假定滤波器长度N(或L)和比值已知,如果按(3.3.8)式选取加权函数,并且如果正确地选定了阶N,那么当这个解得到时就有=。很明显, 和N是互为关联的；N愈大, 就愈小。在滤波器的设计数据中,  , , 和是已知的,因此N必须要先假定知道。所幸的是，由于Kaiser的工作，对近似的N存在一个简单的公式：

；             （3.3.9）

Parks-McClellan算法从估计（L+2）个极值频率{}开始并估计出这些频率上的最大误差。然后通过︱︱=[]给出的点拟合一个L阶多项式（3.3.7）。在一个很细的密度上确定局部最大误差，并通过这些新的极值频率又拟合出一个新的L阶多项式，这个过程一直重复下去。这一迭代的过程一直持续到最优一组频率{}和全局最大误差被找到为止。这个迭代过程保证收敛，得出多项式。再从（3.3.7）式确定系数。最后，系数以及脉冲响应都被计算出来。这个算法在MATLAB中作为Remez函数是可以获得的[2]。

由于是对N的近似，最大误差可能不等于。若是这样，那么必须增大N(若>)，或者减小N(若<),并用Remez算法再去求出一个新的。重复这个过程直到为止。这样,满足前面讨论的全部三个要求的最优等波纹FIR滤波器就确定了。

⑶ 线性相位FIR滤波器的频率响应极值点数目的限制

由交错定理可知，最优线性相位FIR滤波器的加权逼近误差函数至少有（r+1）个极值，而r是用于逼近的余弦函数的个数。

    的极值包括以下两种：

① 的极值点（在大多数情况下，的极值也是的极值）；

② 单有的极值点（它不属于的）。

两种极点数目之和就是极值点的最大数目。下面用表3.3.3来说明四种情况下极值数目的限制。

      表3.3.3 四种线性相位FIR滤波器余弦数目r及极值点数目和N的关系

    从以上分析看出，第一种情况低通滤波器的误差函数最多能有个极值，而交错定理指出：最优逼近时，其误差函数至少要有r+1=个极值。这样一来，对所要求的低通响应的唯一最好逼近来说，误差函数要有r+1=个或个极值。用r+2=个极值来实现的滤波器比交错定理所要求的最少的r+1=个极值还有多一个，把这类滤波器称为最多波纹滤波器，对于低通滤波器，这种最多波纹滤波器又称为超波纹滤波器。

预先知道极值点的最大数目很重要，因为有些设计方法只能设计极值点数目有最大可能值的最多波纹滤波器，而我们所讨论的瑞米兹（Remez）算法则可以设计出任何最优线性相位FIR滤波器。它是一种最为实用的最优化算法。

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