自然界中处于同一环境中的两个种群相互依存的现象是很普遍的, 本文从种群的增长规律出发, 建立模型分析了可以独立生存, 共处时又能相互提供食物的两个种群在同一环境中的发展规律. 该模型为了描述两种群之间的促进作用引入参数, 在Logistic模型的基础上进行了修改, 通过微分方程组描述了两种群数量的变化规律.
       本文通过对微分方程组稳定点的分析, 求出了在共处的条件下两种群不会同时都对对方有很大的促进作用. 文章最后对所有结束进行了详细的分析, 描述了各种情况的实际意义. 在合理的假设下, 说明了该模型与实际情况基本相符.

问题重述
    
模型假设
种群1和种群2在同一环境中可以相互提供食物, 但两种群都能独立存在.
种群数量随时间的变化视为连续的.
不考虑其它种群对种群1和2生存的影响.
假设种群1和2生活在一个稳定的环境中,即其固有增长率与时间无关.
资源有限的生存环境对种群的繁衍,生长有抑制作用,而且这一作用与种群的数量成正比.
符号说明
       种群在时刻的数量
          种群的固有增长率
          种群单独存在时的最大容量
                                           
模型建立
     设种群1可以独立存在, 按Logistic规律增长. 种群2为种群1提供食物, 有利于种群1的增长, 于是种群1的增长规律可以表述为:
    
参数 , 表征种群2对种群1的增长的促进作用.
       同样通过修改Logistic模型, 引入参数表征种群1对种群2增长的促进作用, 种群2的增长规律可以表述为:
    
与式一起构成相互依存下的数学模型:
     

模型求解
 容易求得方程的平衡点为:
 ,    ,  ,

将式化为一阶近似线性系统:
  
判断各平衡点的稳定性:
:  ,   , 
特征方程为, 两特征根同号且都大于0, 固不是稳定点.
 :  易求得特征根为:  ,  
两特征根异号,  故不是稳定点.
:  两特征根为:  ,     异号,  固其不是稳定点.
: 

令,  要使此平衡点有意义, 需满足条件,  当满足时,  A的特征方程为:

易求得以上方程
且其两根   , 
           .

是稳定点(在条件下)
模型求解
 求得模型有一个稳定点 ,
当时,  为,  这时实际上是只有种群1为种群2提供食物, 促进其生长, 而种群2对种群1则没有促进作用.
     显然此时种群1的极大容量与其单独存在时一样为.
     而由于种群1对种群2的增长的促进作用, 种群2的极大容量将增长为 .
同理当时, 模型意义与此相同.
当时, 为, 即种群1和种群2相互之间没有促进作用, 此时相当于种群1和2独立生存, 各自达到其最大容量和.
当和都不为0时, 为  ,
,  , 即由于相互对对方增长的促进作用, 使两种群的最大容量都大于各自单独存在时的容量.
令
则.
∴递增, 即对于种群1的极大容量, 它是随着的增大而递增的.
      其实际意义也很明显, 种群2对种群1增长的促进作用越大, 种群1所能达到的最大数量就越大.
      同样, 对于种群2来说, 种群1的促进作用也有类似的效果, 这是符合实际的.
要使稳定点有意义, 必须满足条件: , 这表明在这个模型中, 不会存在种群1对种群2和种群2对种群1的促进作用都很大的情况.
参考文献
    <<数学建模的理论与实践>>   吴翊 吴孟达 成礼智 国防科技大学出版社

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