浅谈对《等腰三角形》教学的一点看法点击下载
  北京第十九中学   徐凤霞 
 纵观人教版的《初中数学》，其几何部分有这样两个思路：一个是从研究开放图形→两封闭图形→一个封闭图形；另一个是从全等形→相似形。第12章中的第3单元《等腰三角形》在整个过程中，可以说起到了“起、承、转、合”的作用。
 “起”------研究单一封闭图形的起始部分。第4章和第5章已对开放图形（线段、角、平行线）进行了研究；第11章又系统地研究了全等三角形 ；在第5章和第12章第1、2单元又研究了平移变换和轴对称变换；在此基础上开始研究等腰三角形，全等三角形是指两个封闭图形之间的关系，平移和轴对成变换也是指两个图形的关系。所以说，对等腰三角形的研究是研究单一封闭图形的开始。
 “承”------等腰三角形性质的得出，可根据等腰三角形的轴对称性直观得到。其客观性又可通过利用全等的知识进行验证的。在知识和方法上沿承了前面的知识。
 “转”------利用轴对称性把等腰三角形沿底边上的高对折，使一个图形转化为两个图形解决，在用理论推证的过程中，也是通过添加辅助线把其转化为两个全等的三角形才得到解决的。这种转化思想和研究方法的渗透，会为学生后续学习做铺垫。
 “合”------等腰三角形因其特殊性，它和其他图形揉在一起，使问题更具综合性，更加灵活，更具挑战性。通过对综合问题的解决可更进一步提高学生解决问题的能力，使其逻辑思维得到更进一步的锻炼。
 鉴于上述作用，应充分利用本部分的教学，对学生进行多种能力的训练，下面是对这部分教学的几点看法：
 一、突出认识规律
 认识事物，一般本着观察→发现→猜想→验证 →归纳→应用这样一个规律。本单元的教学要突出这一规律。比如在研究等腰三角形的性质时，可先让学生通过观察等腰三角形教具，猜测出“等腰三角形两底角相等”这一性质，然后用量角器测量验证，再通过全等知识证明其普遍性。从而得出结论形成定理。再如在讲授“３００的锐角所对的直角边等于斜边的一半”这一定理时，可这样处理：老师可这样问学生“同学们可知道我们现在天天用的含３００锐角的三角板，３００的锐角所对的直角边和斜边有何数量关系吗？”。对这一熟悉的学具，同学们立马激起探索的欲望，他们很快猜得了结论，并很快通过测量验证了猜想。教师还可引导学生用以下两个方法验证他们猜想的正确性。
方法一、将两个含有30°的同样的三角尺如图１摆放在一起，借助这个图形,找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量
方法二、纯粹用所学的理论知识进行推理验证　　　　　　　图１
已知: 如图２，Rt△AB中,∠ACB=900 ,
∠ A=300.  求证：
这样教学，不仅让学生体验到了认识事物的规律，更让学生　　从中体会到了探索事物的方法　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
 二、注重转化思想的渗透　　　　　　　　　　　　　　　　图２　
 转化思想是数学中常用的一种思想。我们常把复杂的问题转化成简单的问题，把不会的问题转化为会的熟悉的问题去解决。比如在解决方程得问题中，把二元的方程转化为一元的方程去解决，把二次方程转一次方程去解决。对等腰三角形的研究是研究单一封闭图形的开始，是个新的领域。在这之前，对平移和轴对称变换的研究都是指对两个图形的关系，全等三角形是指两个封闭图形之间的关系，要充分利用转化的思想完成有两个图形向一个图形的过度。在教学中要重视等腰三角形性质定理的证明。
比如“在同一三角形中，相等的边所对的角相等”这一定理的证明。有ＡＢ＝ＡＣ，推得∠Ｂ＝∠Ｃ，是没有定理或公理可运用的。要想证两底角相等，只能把其转化成以往学过的知识解决。如右图，通过做出底边上的高（或顶角角平分线或底边的中线），把一个三角形转化成了两个全等的三角形，再利用全等三角形的性质得出∠Ｂ＝∠Ｃ。
 三、分类讨论、全面分析，
 培养学生全面分析问题的能力，是教育教学的一个重要目标。数学上分类讨论问题的能力就是全面分析问题能力的体现。由于等腰三角形的特殊性，分类讨论在此得到充分体现。除引导学生会进行三角形的分类外，更应设计一些类似下面有关边和角的计算问题的讨论。
１．已知等腰三角形中的一边长为5㎝，另一边长为9㎝，则它的周长为             
２、等腰三角形的一边长为5cm,另一边长为4cm,则它的周长是                    ；
３、等腰三角形的一边长为4cm,另一边长为8cm,则它的周长是              。
４、等腰三角形一个角为40°,它的另外两个角为___________.
５．等腰三角形中的一个角等于100°，则另两个内角的度数分别为                。
四、多利用类比的方法
用类比的方法研究问题，不仅能识别出知识之间的区别，更能发现知识间的内在联系。等腰三角形是特殊的三角形，等变形又是特殊的等腰三角形，他们在性质上有共同点，又各有特点，比较教学更能贯通这部分知识。
题目也是千变万化，但进行类比会发现，其实就几个基本题型。
五、解剖图形，退化到原始问题解决
 　　等腰三角形的性质和判定学习之后，学生会发现，题目难了很多，
 研究全等形中建立起的信心很容易在此受到挫败，所以教学时应教学生
 会解刨图形，退化到原始问题解决。比如：
 　如图，在△ABC中，点D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF∥BA，交AE于点F，DF=AC，求证：AE平分∠BAC。
 有DF∥BA可知，要证AE平分∠BAC，只需证明∠ＤＦＥ＝∠ＥＡＣ即可。而这两个角既不在同一个三角形中，所在的两个三角形又不全等，如何证明呢？条件中的DF=AC，这两条等线段所在三角形也不全等，也不在同一个三角形中。再看条件DE=EC，由此想到右图这样一个基本图形，若Ｏ为ＡＤ的中点，且ＡＢ∥ＣＤ（或Ｏ为ＢＣ的中点）则可得全等三角形。利用它则可移动ＡＣ，使ＡＣ和ＤＦ同在一个三角形，从而使问题得到解决
六、引导学生归纳、归类，进一步提升严密论证的能力
 数学解体能力的提高，除必须做一定量的题目来实现外，更应学会总结和分类。在教学时对题型分类研究有助于学生对知识的掌握和能力的提高。可按下面标准进行分类：
1、分类讨论形：主要是有关等腰三角形的边和角的计算问题的分类讨论。
2、角平分线＋平行（一条直线和角的一边平行）→等腰三角形
例如：
３、角平分线＋垂直（一条直线和角的平分线垂直）→等腰三角形
如：
两个等边三角形的问题
三角形ＡＤＥ绕Ａ旋转，可变成很多题目
通过构造全等形移动边或角，构造等腰三角形
典型题例：
例1  已知：如图BD=DC，AF=EF
求证：BE=AC

例2、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，直线DF交AB于D、AC的延长线于点F、BC于点E，若BD=CF，
求证：点E是DF的中点

在实践中，通过上述专题分类研究，学生分析问题的能力得得到很大提高。
 以上仅仅是对这一部分的认识和感受，在实践中，以这样的思路进行教学，发现学生的能力确实有了很大的提高。其中也许有很多不足之处，还有待于继续完善，希望能和同仁们继续探索。