建立实质性联系,自觉应用新定义解决问题 安必智

关键词：目标定位  材料选择 考查方式 解题原则 解题方法
摘　要: 中考数学试题中的数学新定义问题, 在体现新特色,突出新视点,开辟新思路,引出新方法,令人耳目一新,本文想通过其凸现出来的特点加以分析，寻求问题解决的途径。

 综观2007年全国各地中考试题,解答新数学定义问题，重在体现新特色,突出新视点,开辟新思路,引出新方法,令人耳目一新。试题的特点是紧扣新课程标准，材料的选择源于教材又高于教材，发挥了中考命题的导向作用。
 一、其凸现出来的特点有：
　　1、 从目标的定位看
　　“解决问题”的解题目标都重在对问题的思考和新定义的理解上，体现了中考命题的多样化。通过解决数学新概念问题，重在让学生体验到所学知识的价值，从而产生丰富的情感。
　　2、 从材料的选择看
　　“材料的选择源于教材又高于教材”是运用教材的理念。试题选用的教学材料简单，但又有特色，贴近学生的知识面，使学生感受到现实生活中处处都有数学，体会到数学学习的价值，学有所用，同时试题做到材料的呈现从易到难，同一材料设计出不同层次的变式练习，体现了思维的梯度。
　　3、 从考查的方式看
　　（1）、注重构建“解决问题”的基本模式。
 各地中考试题都力求在继承与创新中寻求简洁有效的命题方式，让学生经历解决问题的过程，即：发现问题——提出问题——模型建构——解决问题——应用解决。成功解答新数学概念问题,能唤起学生的旧知，考查学生灵活选择策略解决问题的能力。因此,教师在教学中要注重学生在独立思考的基础上，敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问 题的成功体验，有学好数学的自信心。
 （2）、极力突出“学与用”的有效结合
 课程标准认为:“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之 上。教师应激发 学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流 的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经 验。” 同时课程标准也认为: “评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习 和改进教师的教 学；应建立评价目标多元、评价方法多样的评价体系。对数学学习的评价要关注学生学习的 结果，更要关注他们学习的过程；要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学活 动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心。”这类中考试题都尽量使所学知识与解决问题完美结合在同一试题中，“以学引用”，“以用巩固学”，学用相互依存，并使之成为考查知识与技能和数学学习水平的一种新颖命题方式。让学生自主体验新的概念，在解决问题中出现矛盾冲突，让学生感受到数学知识是为了解决问题而产生，同时又强化了数学思想和方法，提高了试题的多样性。
 4、 从解题原则看
 （1）、简单化原则
 数学中经常会应用“简单化原则”来解题。所谓简单，就是把比较复杂的问题，通过变换，变成比较简单的问题。或通过问题的简单化，获得解决复杂问题的思路。
 （2）、联想类比原则
 类比联想就是由此（具体的个别的现象）及彼（抽象的普遍的本质）的类比思考。立意中，这种寻找“此”与“彼”的内在联系，通过联想确定主题的过程，我们认为都是类比思考的过程。
 （3）、熟悉化原则
熟悉化原则是把陌生的、要解决的问题，转化为与之有关的熟悉问题。用熟悉的知识予以解决。运用熟悉化原则，对要解决的问题从多角度、多侧面去联想，在有关的熟悉的问题、知识和技能中比较、分析、推理逐渐发现并促成要解决的问题转化成熟悉的问题予以解决。
 5、 从解题方法看
 （一）、使背景材料与原有认知结构建立实质性联系
 例1. (2007年连云港市)如图1，点将线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．
某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线．
（1）研究小组猜想：在中，若点为边上的黄金分割点（如图2），则直线是的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）研究小组在进一步探究中发现：过点任作一条直线交于点，再过点作直线，交于点，连接（如图3），则直线也是的黄金分割线．
请你说明理由．
（4）如图4，点是的边的黄金分割点，过点作，交于点，显然直线是的黄金分割线．请你画一条的黄金分割线，使它不经过各边黄金分割点．

新定义黄金分割线对考生应该不陌生,容易理解和接受,良好的思维品质是解题的关键,常见思路是首先熟悉的黄金分割点定义(点C将线段AB分成两部分，如果AC：AB=BC：AC，那么称点C为线段AB的黄金分割点)与新定义(直线l将面积为S的三角形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果S1：S= S2：S1，那么直线l叫做三角形的黄金分割线)建立联系,最后推广为一般地，直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果S1：S= S2：S1，那么称直线l为该图形的黄金分割线。
 解：（1）直线是的黄金分割线．理由如下：
　　　设的边上的高为．
　　　，，，
　　　所以，，．
　　　又因为点为边的黄金分割点，所以有．因此．
　　　所以，直线是的黄金分割线．
　　　（2）因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时，即
 ，所以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．
 （3）因为，所以和的公共边上的高也相等，
所以有．
 　设直线与交于点．所以．
 　所以
 　，．
 　又因为，所以．
 　因此，直线也是的黄金分割线．
 　（4）画法不惟一，现提供两种画法；
 　画法一：如答图1，取的中点，再过点作一条直线分别交，于，点，则直线就是的黄金分割线．
 　画法二：如答图2，在上取一点，连接，再过点作交于点，连接，则直线就是的黄金分割线．

 （二）、推敲新概念中隐藏的性质和命题
 例2.(2007年宁波市)．四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图l，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD的准等距点．
 (1)如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．
 (2)如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)．
 (3)如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．求证：点P是四边形AB CD的准等距点．
 (4)试研究四边形的准等距点个数的情况(说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明)．

 分析：从上面这道例题可以看出，解数学信息题的关键在于读懂题目，考生要求在阅读理解四边形的准等距点规范定义的基础上，通过类比联想，找到线段垂直平分线的性质与四边形的准等距点的关联，实现信息迁移，建模应用。如果我们平时能花气力突破对新概念、术语的理解能力较差，缺乏联系生活经验的意识，对问题的探究能力较弱等问题，应当对此类问题有必胜的信心，实现敢于拿下这类题的分数。
解：(1)如图2，点P即为所画点．

  (2)如图3，点P即为所作点．
  (3) 如图4，连结DB，
    在△DCF与△BCE中，
    ∠DCF=∠BCE，
    ∠CDF=∠CBE，
    ∠ CF=CE.
    ∴△DCF≌△BCE(AAS)，
    ∴CD=CB，
   ∴∠CDB=∠CBD.    ∴∠PDB=∠PBD， 
   ∴PD=PB，
    ∵PA≠PC
    ∴点P是四边形ABCD的准等距点．
 (4)①当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一对角线或者对角线互相平分且不垂直时，准等距点的个数为0个；②当四边形的对角线不互相垂直，又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一对角线的中点时，准等距点的个数为1个；③当四边形的对角线既不互相垂直又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时，准等距点的个数为2个； ④四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一对角线时，准等距点有无数个．
 （三）、在问题的分析中归纳和抽象出概念的本质属性
 例3．(2007年嘉兴市)解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它称为原问题的一个“逆向”问题．例如，原问题是“若矩形的两边长分别为3和4，求矩形的周长”，求出周长等于14后，它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14，且一边长为3，求另一边的长”；也可以是“若矩形的周长为14，求矩形面积的最大值”，等等．
 （1）设A＝－，B＝，求A与B的积；
 （2）提出（1）的一个“逆向”问题，并解答这个问题
 分析：本题为开放题，只要将“”作为条件之一的数学问题，都是问题（1）的“逆向”问题．本题求解时思路要简单,分清一个命题的题设和条件,围绕命题的条件或结论进行求异思维的思考，借助原问题的一个“逆向”问题定义作出转化。
解：（1）
 ．   
（2）“逆向”问题一：
 已知，，求．    
解答：． 
“逆向”问题二：
 已知，，求．   
 解答：
 ．    
“逆向”问题三：
 已知，，求．      
 解答：． 
 （四）、从最近概念理解新概念
 例4．(2007年北京市)我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图，在中，点分别在上，
设相交于点，若，．
请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形
是等对边四边形；

（3）在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．
 分析：理解新概念中隐藏的性质和命题，考生要从特殊图形入手，按照题目的设计层次，逐步推进，逐个击破。
 解：（1）回答正确即可（如：平行四边形、等腰梯形等）。
 （2）答：与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），四边形DBCE是等对边四边形；
 （3）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE。
  证法一：如图1，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点。
    因为∠DCB=∠EBC=∠A，BC为公共边，
      所以△BCF≌△CBG，
     所以BF=CG，
  因为∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB，∠BEC=∠ABE+∠A，
   所以∠BDF=∠BEC，
 可证△BDF≌△CEG，
   所以BD=CE
 所以四边形DBCE是等边四边形。
 证法二：如图2，以C为顶点作∠FCB=∠DBC，CF交BE于F点。
    因为∠DCB=∠EBC=∠A，BC为公共边，
      所以△BDC≌△CFB，
 所以BD=CF，∠BDC=∠CFB，
 所以∠ADC=∠CFE，
 因为∠ADC=∠DCB+∠EBC+∠ABE，∠FEC=∠A+∠ABE，
       所以∠ADC=∠FEC，
       所以∠FEC=∠CFE，
 所以CF=CE，
 所以BD=CE，
 所以四边形DBCE是等边四边形。
 （五）、通过辨析找出错误并纠正
 例5. (2007年南京市)在平面内，先将一个多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，并且原多边形上的任一点，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点为旋转中心，逆时针旋转一个角度，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为，其中点叫做旋转相似中心，叫做相似比，叫做旋转角．
（1）填空：
  ①如图1，将以点为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到，这个旋转相似变换记为（   ，    ）；
 ②如图2，是边长为的等边三角形，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为    ；
（2）如图3，分别以锐角三角形的三边，，为边向外作正方形，，，点，，分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用
与，与之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段与之间的关系．
  
 
 分析：考生对一个新定义的理解，一开始会有偏差，通常需要不断修正，逐步到位。
 解：（1）①，； ②；
 （2）经过旋转相似变换，得到，此时，线段变为线段；
                        
经过旋转相似变换，得到，此时，线段变为线段．
，，
，．
二、复习中如何有效利用中考试题
 中考试题是专家们精心设计出来的，体现中考复习的动向，给我们的复习带来指导作用，是中考考前备考不可或缺的典型习题。正视中考题,灵活的使用中考题,进行合理的处理,我们的复习将会更有效果。
 许多教师利用试卷采用的方式依然是照本宣科，使得题目不能很好的发挥功效。多年初三毕业班的经验告诉我们挖掘原题中的隐藏问题,在中考复习中显得尤为重要,一个新问题的提出，学生必须进行探究解决，从而使学生对该问题有更深的理解，也能培养学生勇于探索的精神。
 变式练习是初中数学复习课的一大特色，中考试题设计时往往兼顾的只是知识点的一个方面，于是教师可以改变某些条件或问法，就又是一道好的题目，解答这样的题目必然会使学生在复习中举一反三、触类旁通，起到精练的目的。此外对比练习、类比练习、一题多解也是常用来处理中考习题的方法。
 数学问题是千变万化的，解决数学问题的方法也是多种多样的，如何选择正确的解题方法是数学教学法研究的中心课题之一。对数学问题，学生总是采用从原问题入手推出原问题结论的方法，但有些数学问题，采用这种方法难以解决，中考复习要让学生深刻领会适当变换问题是解题的关键，解决数学问题不能墨守常规，要善于抓住本质属性，积极进行发散思维，数学并不是枯燥无味的东西，真的进入了角色，会其乐无究。
三、新课标下初中数学概念的教学
 从中考过程中反映出来的情况是:考生题目能读懂,却不会自觉应用新概念去解决问题。仔细想想，问题可能就出在课堂教学上，新课标要求我们教师要更新教学理念，重视概念课教学；精心设计问题情境，激发学生的学习兴趣；倡导学生自主探索，合作交流，优化学生的学习方式；引导学生重视概念教学，提高学生应用概念解决问题的能力。教学出现偏差，学生能力的发展没有向课标预设的方向去,自然会出现上述症状。
 通常课堂教学所能做到的是选择具体的典型材料和实例，创设趣味性、探索性的问题情境，来帮助学生完成由教材感知到理性认识的过渡，或者从最近概念出发,探求新旧概念的区别和联系。这些理解新概念的方法都是我们在初三复习时要归纳和总结的，教师要善于从方法分析中归纳和抽象出具体经验，形成学生的能力。
 波利亚指出“学习最好的途径是自己去发现”。因此，初中阶段进行在新概念教学时，教师要重视概念的形成过程。不仅要引导学生通过对具体事物的感知新概念，而且要让学生自主观察分析、抽象概括、自觉获取概念的本质属性和规律。这一习惯的培养，能让考生快速而准确地接受新概念，也会使我们的课堂教学从学生被动地“听”发展成为主动地获取和体验数学新概念，促进自主建构知识能力的形成。
 学会分析概念，主要是指分析概念的结构特征，又能说出它与其他概念的联系和区别。平时的课堂教学教师要引导学生养成仔细阅读概念，逐字逐句推敲，多角度多层次剖析概念的习惯，教会学生如何抓关键字眼，怎样挖掘概念中隐藏的性质和命题。很多带过毕业班的教师考后都发出感慨，“中考是在直接或间接的考问我们老师啊！”，什么样的课堂教学必然会催生出什么样的考生，因此帮助学生掌握概念的方法，必将大大增加学生对一个新概念的明晰度，提高考生的鉴别能力。
 重视概念的引用和巩固是初中教学的一大特色，精心设计适量的典型性的例题和练习，让学生尝试应用概念解决问题，一些有经验的教师教学中往往根据概念的内涵和外延，编拟各种题型，有意设置错误解法和易错练习，让学生通过阅读、辨析、讨论，找出错误并纠正。很好的发展了应用能力
 总之，这些情境新颖数学新概念问题,符合学生的学情和认知规律,我们数学教师应当使学生认识到日常的学习蕴含着大量的数学信息,给学生一双能用数学视角观察世界的眼睛,一个能用数学思维思考事物的头脑,从而寻求解决问题的策略,增强用数学,做数学的意识。

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