浅谈数学思想教学在课堂中的实践 张小凯 

2007年3月20日，在浙江省舟山中学召开的浙江省六市高考复习研讨会上，省特级教师胡庆彪老师在其报告中提到，高中数学思想的复习应工夫在平时.对此，笔者深有感触.
 数学思想是人们对数学内容的本质认识，是对数学方法的进一步抽象和概括，属于对数学规律的理性认识的范畴.它蕴含在数学知识的发生、发展和应用的全过程，是数学发展的内在动力，是知识化为能力的桥梁，是学生形成良好认知结构的纽带，是培养数学观念，促成创造性思维的关键.它能将零散的数学知识“吸附”起来，使知识结构得到优化，认知结构迅速构建，进而提高数学能力.近几年的高考数学试题，“注重对数学思想的考查”这一立意已十分明确.然而近年来高考的情况表明，不少考生在高考复习中只注重对基础知识的掌握，偏重于就题论题，而忽视了对数学思想的归纳与提炼，缺乏举一反三和综合分析的能力；有些考生对数学思想认识模糊，理解肤浅，硬搬硬套，解题盲目，这些情况都严重影响了考生的复习效果和高考成绩.
 目前，许多学校的高三数学复习分为三个轮次，数学思想的复习通常是安排在第二轮专题复习中.笔者在对某一数学思想进行了若干课时的复习后，并没有在复习后应有的一种踏实感，相反的，越是复习就越觉得不够.请教了许多有经验的老教师，交谈间，总结出一条原因：数学思想的教学必须贯穿于我们课堂教学的各个方面，数学思想的训练是一个潜移默化的过程，是在深入理解和反复应用的基础上逐步形成的.
 下面就如何在课堂上更好地实现数学思想的教学谈谈个人的一些认识与浅见.
一、数学史的教学，体验数学思想
 《普通高中数学课程标准》中对于“数学史选讲”的教学，强调“要讲史实，更重要的是通过史实介绍数学思想”.通过学习数学史，再现古代数学家的思维方式和思考过程，可以知道各种具体的数学思想的产生和发展，它与数学主干思想有何联系，它对数学发展的影响、作用和地位，从而在不知不觉中体验了数学思想.
 例如在“两角和差的三角公式推导”教学时，可向学生介绍“帕普斯” 法.公元3世纪末，亚历山大的数学家帕普斯（Pappus）在其《数学汇编》第5卷第4部分给出了以下命题：如图1，设是以为直径的半圆上的一点，是半圆在点处的切线，.和为垂线，，为垂足.则，不难利用与的相似性证得该命题.
 又如在“勾股定理的证明方法”教学时，可向学生介绍我国古代数学家赵爽利用“赵爽弦图”说明勾股定理的巧妙证法.赵爽在为《周髀算经》作注时所附的“勾股圆方圆说”一文对其弦图（如图2）的说明如下：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦.案：弦图又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差为中黄实，加差实亦成弦实.”此段文字用式子表出即：.
 上述证明中，将代数结论展现在直观的几何图形上，让学生无不感受到证明方法的独创性和简捷性，融几何知识与代数知识于一体，这正是体现了数形结合思想.
二、概念课的教学，渗透数学思想
 数学概念，既是数学思维的基础，又是数学思维的结果.在进行概念教学时，要引导学生参与数学概念的再建构过程，加深对概念的理解，从而准确地把握概念的实质，感受和领悟隐含于概念形成之中的数学思想.
 例如在子集概念教学中，讲清含有和两种情况，向学生展示分类思想.也可以借助于韦恩图进行说明，体现数形结合思想；在单调函数教学中，通过观察函数图象确定函数的增减性，向学生展示数形结合思想；在对数函数和指数函数教学中，注意参量的讨论，展示分类讨论的思想，等等.
三、公式定理课的教学，揭示数学思想
 在数学公式、定理的推导证明过程中，都孕育和渗透着大量的数学思想，学生在学习过程中，不能只重视结果，只记住公式结论，更重要的是要分析在证明过程中所蕴含的数学思想.
 例如我们知道立体几何三棱锥体积公式是利用学生已掌握的三棱柱的知识推导出来的，如何将三棱柱的体积公式迁移到三棱锥的体积就成了关键，可以准备如图3的三个具有一定形状和条件的三棱锥，并在教学的过程中设置了几个问题加以引导：用这三个锥体可以拼成什么立体图形？能否拼成三棱柱？在学生经过动手思考讨论得到结论后，接着问，所拼成的柱体体积和这三个锥体体积有什么关系？学生经过启发思考讨论后，发现任何一个三棱柱体可以分割成三个等体积的三棱锥.学生在教学实践过程中，逐步理解了几何体体积公式的推导体系是转化思想，等积类比思想等的灵活运用.
 又如在等差数列的前项和公式的推导中，得出公式后,教师要不失时机地指出,在该公式中,将看作变量,则是关于的二次函数,这个二次函数的常数项为零,二次项系数为,因此可以用二次函数的有关知识来解决等差数列的前项和的问题，体现了函数思想.
四、解题课的教学，强化数学思想
 解题是数学教学活动的中心，强化数学思想更应该在解题教学中得到体现.数学解题过程无不充满着生动活泼的数学思想，这便为在解题教学中强化思想提供了必要的基础和可能.解题表面上是具体数学形式的连续转化、逻辑沟通，但在过程探索、方法选择和思路发现的背后，在进行每一步简化、转化、分解与化归之前，都有着数学思想方向的调控，实质上是对题目中所蕴含的数学思想的不断显化与横向沟通.所谓“用数学思想指导解题”，就是要揭示题目内容和求解方法中所蕴含的数学思想，自觉地从数学思想方法的高度去理解题意、去寻找思路、去分析解题过程、去扩大解题成果，使得解题的过程既是运用数学思想的过程，又是领悟和提炼数学思想的过程.
 例1、在等差数列中，，前项之和为，且，问为何值时，最大？
 解：因为数列是等差数列，则前项之和为关于正整数的二次函数，此时，且，故而关于正整数的二次函数必是开口向下的抛物线，如图4，其在对称轴处取得最大值，于是由，所以对称轴为，因此当时，最大.
 这是数列中的一个典型问题，可以利用数列的不同方法来加以解决.此处若能充分理解数列的函数属性，利用函数图象来加以解决，那么问题就变得简洁又直观.
 教师在组织复习时，要有意识地穿插渗透常用的数学思想，通过一题多解的示范和训练，使学生更好地理解掌握数学思想，提高学生思维的灵活性和创造性.
 例2、解不等式：
 解法1：代数法（突出化归与转化的数学思想）
 原不等式等价于或即或
 解得（ⅰ），（ⅱ）.所以原不等式的解集为.
 化归思想是解不等式的最基本、最重要的思想，它贯穿于求解不等式的始终，其思想是将欲求不等式等价转化为熟悉的较简单的不等式求解，关键在于等价变形.
 解法2：数形结合法（突出函数与方程的思想）
 设，在直角坐标系中分别画出表示半抛物线和直线如图5所示，解不等式组得.所以由图5可得原不等式的解集为.
 把不等式中的数量关系赋予几何意义，对问题既进行几何直观的呈现，又进行代数抽象的揭示，通过对几何图形间位置关系的探究，解决数的问题.
五、章节复习课的教学，概括数学思想
 知识的学习需要有一个整理和序化的过程，特别是在复习时更应该做好知识重新梳理的“序化”. 由于同一教学知识可表现出不同的数学思想，而同一数学思想又常常分布在许多不同的知识点里，因此，适时地对教材中的思想方法加以归纳、概括是必要的.教学过程中有意识地启发学生将统摄知识的数学思想概括出来，引导学生参与数学思想的提炼、概括过程，可以加强学生对数学思想的运用意识，也使其对运用数学思想解决问题的具体操作方式有更深刻的了解，有利于强化所学知识，形成独立分析，解决问题的能力.
 例如空间角的求法问题，是学生学习立体几何的难点，要获得解决方法，用转化与化归思想来指导学生将空间问题转化为平面角来求：异面直线所成角通过平移转化将空间两条直线所成角转化为平面内两条直线的夹角；直线与平面所成角找直线在平面内的射影，直线与其在平面内的射影所成角，即为直线与平面所成角；求二面角大小最常用的方法之一就是：根据已知条件，在二面角内寻找或作出过一个面内一点到另一个面上的垂线，过这点再作二面角的棱的垂线，然后连接二垂足.这样平面角即为所得的直角三角形的一个锐角.这样，转化与化归思想在解决问题的过程中得到了深化，即将空间问题化归为平面问题.
六、专题讲座，提升数学思想
 通过平时的数学思想的渗透教学，学生虽已积累了许多数学思想，但他们对数学思想的认识还是比较肤浅，有时甚至是零碎的.此时要适时开展数学思想的专题讲座，让学生全面系统地认识数学思想，深入地理解数学思想，把应用数学思想来解决问题转化为一种有意识的行为，最终成为一种自觉的行为，然后以此带动全面的复习和提高，促进学生数学素养的提高和数学能力的全面发展.
 数学思想的复习教学与表层基础知识教学一样，只有建立起自己的结构，使之成为系统才能充分发挥它的整体效益.因此，在高考第二阶段复习中，可以通过专题讲座的形式，把数学思想系统化，明朗化，系统地介绍和提炼中学常用的数学思想，特别要突出在高中数学中占有重要地位的数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想，讲清其来龙去脉、内涵外延、作用功能等.比如：①数形结合思想——多用于解选择题和填空题，利用这种思想解题，形象、简洁、明了；②分类讨论思想——能帮助我们在分析问题，解决问题时做到思维缜密，严谨，遇到对事物整体研究有困难，可转化研究事物的各个局部；③函数与方程的思想——利用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系.④转化与化归思想——利用它能达到未知向已知的转化，新知识向旧知识的转化，复杂问题向简单问题的转化，不同问题之间的转化，实际问题向数学问题的转化等.其转化的基本方向是：简单化、熟悉化、和谐化；等等.
七、结束语
 数学思想是数学知识的精髓，是数学知识迁移的基础和源泉.数学教学中不仅要注重数学知识的传授，能力的提高，更要注重揭示知识发生、发展过程中，解决问题过程中蕴含的数学思想方法,让学生能够在“随风潜入夜，润物细无声”中更好地去体验、理解、掌握和应用好数学思想.

参考文献：
1  罗增儒：《数学思想方法的教学》，《中学教研（数学）》2004年第9期；
2  张雪园：《浅议数学思想方法在课堂教学中的渗透》，《江西教育学院学报》2004年第6期；
3  陈顺娘：《注重过程教学让学生体验数学思想方法》，《福建中学数学》2005年第8期；
4  余  海：《解题教学中应加强数学思想的培养》，《四川教育学院学报》2005年第5期.

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