《普通高中数学课程标准（实验）》的第四部分“实施建议”指出：“数学教学要体现课程改革的基本理念，在教学设计中充分考虑数学的学科特点，高中学生的心理特点，不同水平、不同兴趣学生的学习需要，运用多种教学方法和手段，引导学生积极主动地学习，掌握数学的基础知识和基本技能以及它们所体现的数学思想方法，发展应用意识和创新意识，对数学有较为全面的认识，提高数学素养，形成积极的情感态度，为未来发展和进一步学习打好基础。”易见，新课程理念倡导的数学课程教学设计必须以“学生为本”、“以学生的发展为本”，即数学课堂设计在讲究科学性的同时必须讲究设计的艺术性。
 本文以一个教案设计为具体实例——《任意角三角函数的定义》，来着重探讨优秀的、贴近学生认知的课堂教学设计教案能更好的激发学生的学习兴趣，掌握新知。
 张奠宙教授在《关于数学的学术形态和教育形态》一文中指出：“对于三角函数的教学，必须通过在创造恢复学生火热的思考，使之反璞归真。让三角函数丰满起来，才能把教科书上‘定义——公式——图象——性质——应用’这种冰冷的美丽变成学生丰富的联想，使学生在某一领域孤立学习的主题能迁徙到又一领域。”这段话应成为三角函数教学所要追求的境界。
 按通常的教学设计，“任意角三角函数的定义”的教学，只要讲清并强调这六个比值的大小都与点在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关，即它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，从而给出任意角的三角函数的定义就行了，正如方案一。
 方案一
【教学过程】
      设是一个任意角，终边上任意一点（除端点外）的坐标是（），它与原点的距离是（），我们定义：

（1）比值叫做的正弦，记作，即
（2）比值叫做的余弦，记作，即
（3）比值叫做的正切，记作，即
师：①只要确定、就能在它的终边上取点，从而确定及值。计算出值，自变量为
 ②两个量的比值看成一个实数，由于角集合与实数之间可以建立一一对应关系，这三个比值可看成以实数为自变量的函数，即实数——角（其弧度等于这个实数）——三角函数（实数）
 方案一是典型的传统教例，它按照教材的内容和要求，采用讲授的方法，将三角函数的定义讲述给学生，思路清晰。但是，它只能让学生学习到僵化的知识，学不到数学的思想和方法，更学不到数学发现的思想和方法。经历数学概念教学是，切忌直截了当地就定义讲定义，应更多地从概念的产生和发展过程中为学生提供思维情景，让他们通过观察、比较、概括，有特殊到一般，有具体到抽象，这样才能保证学生理解和掌握新概念，而且也能使他们的抽象思维得到发展。
 以下来介绍笔者在教学过程中总结、归纳、整理出的比较好的两个教学方案：
 方案（二）
【教学过程】
      概念的引入：回到过去的知识体系中。
师：在初中我们已经学习过锐角三角函数的定义，即（由学生说，教师板书）

，        
          。
现在角的概念已经推广到了任意角，三角函数的概念也能推广到任意角吗？即能成为任意角的三角函数吗？
根据我们对锐角三角函数的一些了解，预计这样的扩展是会很有用的，从而也是数学所需要的。
师：显然，上述定义锐角三角函数的方式，已不能适用于角为钝角或其它任意角的情形了，怎么办呢？
锐角三角函数的定义是从几何中得来的，是否在新的情形下几何方式已不再适用了呢？任意角的三角函数是常在直角坐标系内来讨论的，由此看来，任意角的三角函数也要先把角放入直角坐标系中，再来给出定义。
我们把上述的放入直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，三角形的一边在轴的正半轴上，如图
 延长，把看作角的终边上的任意一点，设点的坐标为， 那么有（由学生作图，并根据锐角三角函数的定义写出比值）：
 ，，
 ，
 师：我们改变一种说法：
 ；
 
 ；
 
 ；
 
 。
 显然，这样一种新的说法，既与初中锐角三角函数的定义相一致（只是把角放入直角坐标系中，改换了看法与说法而已），又满足任意角的情形，因此，我们把它定义为任意角的三角函数。
 方案二这篇教案从学生已有的认知结构出发，采用建构主义的思想，应用类比、扩展的方法将锐角三角函数的概念扩展到了任意角的三角函数，不仅使学生学习了任意角的三角函数的定义，而且使学生学到了数学发现的思想与方法，为学生在以后的学生中将某些概念、公式、定理进行推广奠定了基础。在教学过程中，充分展示数学知识的探索、发现过程是必需的，但必须考虑学生的年龄特征和已有的知识水平，在度的把握上应使绝大部分学生能接受能掌握，以提高学生的学习兴趣为前提，不要为展示过程将内容搞得太难而挫伤学生的学习积极性。
 方案（三）
【教学过程】
 1、观察投影片，思考问题：“我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是一锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？”
 师生活动：教师——请同学们把给定锐角放在直角坐标系中，研究起正弦、余弦、正切，并给出投影，如图
 学生——观察图，在锐角的终边上任取一点，根据锐角三角函数的定义写出锐角三角函数的正弦、余弦、正切。
 教师——提出探究性问题：锐角三角函数的这些坐标表示，形式上与点的坐标值有关，点的位置不同，表示式中的也就不同，但实际上，作为锐角三角函数的值与终边上点的位置有关吗？请同学交流、讨论。
 学生——利用相似三角知识，不难探究出的值与点的位置选择无关的结论。
 师生——由此，师生达成共识：为了表示角的三角函数值，可在的终边上去一个“比较好”的特殊点。同学们认为哪个点比较好？（发表各自的观点，说明理由）最后得出，将的终边与单位圆的交点作为这个特殊点来表示锐角三角函数的值比较好，形式简单！
 2、任意角的三角函数的定义
 师生活动：教师——到目前为止，我们在角和函数方面做了两方面的工作，一是推广了角的概念，一是给出了锐角三角函数的坐标表示，那么，将这两个工作成果结合起来，你能给任意角定义三角函数吗？请交流讨论给出你们的观点。
 学生——同桌之间交流、讨论、思考、探究。多数学生能够给出任意角的三角函数的坐标表示。
 教师——通过让学生发表各自的观点，总结给出任意角的三角函数的定义。并指出在弧度制下，三角函数以角为自变量，就是以实数（弧度数）为自变量，以角的终边与单位圆的交点的坐标或坐标的比为函数值，就是以实数为函数值。因此，三角函数是函数的一种，是一种特殊的函数。
 方案三这篇教案充分调动了学生的学习积极性，让学生参与到课堂教学中，将锐角三角函数坐标化，为建立任意角的三角函数概念作铺垫。又通过类比锐角的三角函数，让学生尝试给出任意角的三角函数的定义，培养类比猜想能力，同时让学生经历有锐角的三角函数特例到任意角的三角函数的一般情况的推广过程。
 总之，笔者认为教案的设计要注重教学过程是“两个过程”，即数学知识的发生发展过程（逻辑的）和学生认识数学知识的思维过程（思维的）的有机融合。让学生有广阔的、独立的数学思维空间，有机会经过自己的独立思考获得对数学知识的理解这一点方案三做的很好，它让学生的数学思维从“具体到抽象，由此及彼，由表及里，从个别到一般，从片面到全面”，具体表现为在教师的引导下，学生经过类比、猜想、特殊化和推广等而概括出教学知识的过程。

相关论文