一道函数例题教学与学生问题解决的能力的培养

 内容提要：通过一道函数例题的教学，设计一系列容易让学生理解的问题，并设计适当的教学重复，逐步地培养学生主动思考问题的习惯，培养问题解决能力和建模思想。
关键词：函数   教学   问题解决   思维   数学模型   实际问题
 我们都知道数学本身的发展过程就是不断提出问题，并解决这个问题的过程。正是为了解决各种问题，人们创立了各种数学理论。可以说解决问题是数学发展的原动力。尼罗河水的泛滥让人们创立了几何学；天文学、力学、弹道学的发展，又促使牛顿和莱布尼兹各自独立创建了微分学。社会的发展将不断地提出新的问题，而要解决这些新的问题，我们需要一批头脑灵活，有独特的思考方法，有创新精神，能够把已学习的知识和他所碰到的实际问题很好的结合的人才，一个个如欧拉式的人才。我想这就是数学家和我们数学教师存在的真正理由，我们需要传授知识，我们需要培养出具有较强的问题解决能力的学生。
 中学教材中的很多知识点都是通过提出问题，再逐步加以解决的模式提出的。函数便是一个典型的例子，他是课本要通过他培养学生提出问题，解决问题的一个重要基地；一个培养学生建模思想的重要载体。作为数学教师，我喜欢这一类题目，我也愿意与学生一起利用这一知识点，共同探索学习面对实际问题的解决我们应该具有的思维方式和利用学过的知识解决各种实际问题的方法。
 首先，我认为函数应用性问题要解决的是发生在不同生活场景的一个个的问题，有时只要教师稍微留心一下，根据学生年龄特点、学生已有的认知结构、教材及学生的生活实际，适度创设实际情境，我们的每一道题目都可以与学生身边的事情挂起钩。这样，学生解起问题来，犹如一个心理咨询师面对一个病人提出的问题，他会让人更加迫切地去解决眼前的问题，同时也更有利于培养学生的创新意识和实践能力。有个例子是这样的：
 例一：某商店将进货为8元的商品按每件10元出售，每天可销售200件。现在采取提价的办法，减少进货量，增加利润。已知这种商品每涨价0.5元，其销量就减少10件。问应将销售价定为多少时，才能使所赚到的利润最大，并求出最大利润。我在拿出这道例题之前，首先把场景稍作修改，我把商店改为班级中某一个开小店的同学家里，那么这问题就会让学生觉得他们是在为自己的同学解决问题，这兴趣与单独为老师解一道题目就大不一样。
 第二，人类认识数学对象的过程，是一个渐进的过程。是从认识最简单的对象开始，逐步发展到对数学对象之间的相互关系，进而认识它们的内部结构。人们对于数学问题的认识，如同对数学对象的认识一样，也是一个渐进的过程。而在解决学生所碰到的函数题目中涉及到的实际问题时，一般条件不是一目了然。函数题目大多数都有一个由静到动，由动到静的题目结构，一如几何中的点组成线，线上肯定能找到点一样，整个的解题过程似乎在玩游戏。但是函数的应用性问题往往关系比较复杂，如何借课堂上有限的几个例题，有效的培养学生建模能力和提高数学问题解决的能力呢？如果仅仅要求学生掌握解题的知识点，解题的方法，那只能是就题论题，即做一题是一题，教师的教学过程只要循规蹈矩就行了。但要培养学生的能力，让生活在知识爆炸的年代的学生能一通百通，那我想知识点是必须要的，可我们的学生更应该学会怎样在分析问题上学会思维，怎样利用一道题目，举一反三，这才是最主要的。这样的学习对学生而言，无疑是最聪明的。为了达到这个目的，针对上面这个例子，我设计了以下的问题：
 ⑴教师：您觉得本题最终要解决的是什么问题？（学生的回答有最大利润，也有利润）
 ⑵教师：总之就是利润。那么最初的利润是多少呢？（这对学生没有问题）
 开始利润=200×（10-8）
 ⑶教师：后来问题如何变化了？（售价提高了，进货少了）那么利润又如何呢？（变化了）
 虽然利润变化了，能告诉我求利润的方法变了吗？
 （要求学生看题目，思考后回答并在黑板上板书：利润=销售衣服的件数×（售价－进价））
 ⑷教师：衣服件数变化了，利润也变化了，那么是谁捣的鬼？（要求学生再看题目，再回答。）
 学生回答总结：利润变化了，但是是被动的；销售件数变化了，也不是主动的。分析结果是：只有售价的变化才是主动的，而且引起一系列的连锁变化。
 ⑸售价多少，您能定吗？
 学生回答：无法确定。
 ⑹教师：通过上述分析，我们知道如果售价定了，那么一切都好解决了。怎么办？
 学生回答：令售价为x元。
 ⑺教师：好，现在售价已经知道，那么您如何确定销售衣服的件数？（再让学生看题目，寻找相关的句子）
 教师板书：售价涨0.5元，   销售量减少10件，即销售衣服（200－10）件
           售价涨0.5×2元，                 销售衣服（200－10×2）件
 售价涨0.5×3元，                 销售衣服（200－10×3）件
 销售价涨（x－10）元，             销售衣服件
⑻现在能求利润了吗？
 在稍做讨论后，教师要求学生对着刚才写着的文字等式，用字母代替文字写下一个等式y＝（x－8）×（）。当学生对照着黑板上的文字等式写出这个数学等式后，我告诉学生，象这样用具体的代数式、函数式、方程式、不等式或相关的图形、图表等把这些实际的数学关系确定下来，就形成了数学模型。
 此时的y随着x的变化而变化，这是一个具有动感的式子，通过刚才设计的这几个问题，引导学生的思维从不变的起始状态，进入一个动感地带，这个过程就犹如是点连成了线。也让学生体会着如何列出一个函数式子，如何建立一个数学模型。这个数学模型，是在大家一起努力下得到的。在建立数学模型列数学式子的时候，我要求学生独立完成，因为前面的分析过程，已经使问题明朗化，一般情况下学生都可以独立完成数学建模任务。对于有困难的学生，可以让同桌帮一下。这一个步骤，让学生的思维，从一个特殊的、个别的情形，跨入了一个非常普通的一种情形，一种可以以一抵无数的一种情形。
⑼教师：因为售价的变化会引起一系列的变化，利润也是如此。既然有变化，肯定是忽大忽小的，那么何时达到最大利润呢，您准备如何去找？
 此时，在教师的指导下要求放手让学生自行进行讨论，自行进行操作，向讨论的集体提供可行的方案。而我们的学生在充分了解了题意和前面列式的原因，他自然会迫切                                      去联想已学过的数学知识和熟悉的数学思想方法，通过推理和演算，达到问题的解决。有的会用数据代入去寻找答案，犹如在线上找个特殊的点一样的，去尝试，去接近；有的会利用画图象去寻找他所要的答案；有的会用配方法去寻找答案。此时，我会用较多的时间给学生思考和尝试，运算，我的任务是在教室的四周做巡回指点，给每一个有点障碍的学生进行及时的辅导，点拨，力求让每一位同学都有所收获。
我想在此处不论用何种方法去寻找问题的答案，学生的思维已经又从动感地带回到了静止的状态，思维固定在我们数据的最高点——极大值。
 ⑽观察一下您的答案，他符合实际吗？
 这一个环节是涉及到是否要修改模型或者要另辟途径。
 我认为这整个的教学过程，其实是学生认知方式的一个循环，虽是一道普通的二次函数应用题，但它符合人的认识过程，经历了从特殊——普遍——特殊，从常量到变量再到常量的思维转化，这种数学思想为学生今后学习解析几何打下了良好的基础。同时我认为这样的设计过程没有牵着学生的思维走，但又教会了学生如何去思考。教师提问的过程也在培养着学生分析问题的潜意识，使学生在今后单独面对类似问题时，他也能学着他的老师一样的自己向自己提问题，从而在没有老师的指点下，他照样能让一些较复杂的实际问题条理化，能象老师一样的追根溯源。一旦学生学会了自己向自己提问，那么他解决问题的能力也就得到了进一步的加强。
 第三，我认为函数应用题所要解决的是在生活的各个不同的场景中发生的有类似的数量关系的一类问题，因此利用这一类题目建立适当的数学模型，培养学生问题解决的能力是一个良好的途径，同时也培养了学生的建模思想。为了在学生的头脑中树立一个模型的概念，我接下来对刚才的那道例题变换了一个新的场景，数据亦稍做变动：
 例二：我的电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件，为了增加销售量，公司决定采取降价的办法，经市场调查，每降价1元，月销售量可增加2万件。问（1）求出月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出月销售利润z(万元)（利润=售价-成本价）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（3）能告诉我什么时候我的利润能达到最大？
 然后要求学生模仿我的提问方式，尽量单独的解决这一新的问题。一者，模仿是学习的开始，而尤其是思维程度有点复杂的二次函数的应用性问题，让学生在简单的模仿中了解教师分析过程的各种思维方式和知识依据；二者，让学生学会自己给自己提问题。我想这是一个好的开始。乔治·波利亚在《怎样解题》一书中指出，“对你自己提问题是解决问题的开始”。当然不可能所有的学生都能顺利地回答自己提出的问题，有的学生难免在某个环节被卡住。这时，我要求学生向好的同学或老师提问题，我要求他们告诉我他们需要解决的问题。我给学生设计的提问题的方式是：如果（    ）我解决了，我就能再往下走；或者是：如果（   ）知识点我知道了，我就可以继续了。通过几年的尝试，我觉得这种提问题的方法很能提高学生的思维主动性，又不会让学生死死的卡在某一个知识的死角出不来；这种让学生以提问方式问问题，每一个学生均能遵循自己本身的能力，并在讨论中或者在教师的指点下得到发展；还能培养学生在探究过程中善于提出问题的能力，使其能在简单模仿的基础上，有意识的思考问题，提出一些稍具成熟感的问题。三者，可以消除学生对应用性问题的畏惧感，我们很多的学生，甚至是成绩相当不错的学生，都或多或少的存在对一些应用性问题的恐惧心理，这也是造成我们学生解应用题能力普遍不高的原因。而如果能在教师仔细讲解的基础上，适当的重复学习内容，不啻是一种能让学生真正了解思维过程的好办法。象例一和例二，所要建立的最终的数学模型是一样的，所以其中途的思维过程也一样。教师已对前面的一道例题进行了很详尽的分析讲解，趁热打铁，拿出例二，依葫芦画瓢，这样，既能起到较好的巩固效果，也不会让学生产生很大的恐惧心理。久而久之，学生会慢慢的乐于分析思考。这，正是我们教学需要的最终效果。四者，让学生体会数学中所谓的数学模型的实质，它其实反映的是一类场景各不相同的实际问题，他们的数学解决方法是相同的。也就是要求学生学习数学，要学会以不变应万变，使学生理解从实际问题中抽象出数学模型的重要性，更让学生明白生活中的问题是千奇百怪的，学数学不能靠单纯的题海训练，需要的是思考和总结。我想这也是培养学生数学素养的一个良机，是当前的新教材提出的一个理念，也是让学生从应试教育中脱离出来,更加灵活主动的学习数学，更加高效的去学习数学。而不是被埋在题海里死做题目。
 在数学问题解决的教学过程中，既要注重发挥学生的主体作用，又要重视教师主导作用的发挥，二者相辅相成，不可偏废。我想在上述“第二”中我所设计的问题，只是给学生起到抛砖引玉的作用，要真正的解决问题，教师还要有耐心，让学生用他的年龄允许的速度，利用本身所具有的各种并非完全成熟的能力，去积极主动的思考。因此，教师在一些典型的关于数学问题解决的例题教学中，必须要教给学生比较完整的解决实际问题的过程和常用方法，给予足够的时间，和能够互相帮助的团体，以此来切实提高学生解决实际问题的能力。
 将生活、生产等社会活动中发现的实际问题抽取出来，通过构建数学模型，化实际问题为数学问题，然后应用数学思想或方法来解决问题，这是人们认识世界的重要途径。非常规的问题往往不是纯数学化的问题模式，而是一种情境，一种实际需求。因此，要培养适应知识经济社会需要的高素质、创造型人才，如何利用课堂的例题教学过程来培养问题解决能力和数学建模能力，不但是学好数学、用好数学的重要保障，而且也是基础教育不可或缺的任务之一。
让我们的学生拥有更高的数学素质；让我们能更轻松的学习数学；让我们的教学培养出更多的能活用我们的课堂和书本知识的解决问题的高手；让我们能更大可能地解决生活中未知的一切。

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