例谈数学课堂动手实践

 “有效的数学学习活动不能单纯地依赖于模仿与记忆，动手实践，自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。这为改变“边讲边问”，“精讲精练”的教学方式提供了一条途径，通过动手实践，可调动学生多种感官，加强知识的理解和记忆，激发了学生学习兴趣和热情，不同层次的学生在共同动手实践中起到相互促进的作用，通过身边的教具或简单模型，学生易办也易做到，更使学生觉得数学知识是现实的，有趣的，富有挑战性的，与学生的生活经验相联系的。动手实践有助于培养学生实践观察、猜想和思维能力。在几何学习中用操作观察、猜想、分析的手段去感悟几何图形的性质，进一步运用几何知识去解决几何问题，应是学习几何的重要方法。
 情景1，在学习《含30°角直角三角形性质》时，为了学生体验、理解直角三角形性质，在课堂上给学生创造一个动手操作、合作学习的机会。因为学生手中都有两块三角板，布置小组合作学习。①量一下一块含30°角三角板的最短边和最长边，并思考这两边长度的关系？学生动起手来，很快就得到“直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半”。②再问怎样证明任何含30°角直角三角形这个结论成立？运用学生相互间全等的两块含30°的三角板拼拼或重叠部份，来证明这个结论？小组内积极动手相互讨论，再由老师适当点拨，同学们一会就出现了以下两种拼法。
 图1，证明：∵∠AOB=∠AOC=Rt∠, ∴B、O、C在同一直线上
 ∵∠B=∠C=60°∴△ABC为正三角形，
 ∴OB=OC=BC=AB=AC.
 图2，证明：∵∠OBC=∠OCB=60°
 ∴△OBC为正三角形，
 ∵∠ABO=∠OCD=∠A=∠D=30°，
 ∴BC=OB=OA=OC=OD，
             ∴BC=AC=BD.
 ③问学生有没有其它的拼法,上面的两种证明给学生打开了思路,增加了兴趣,连教师也想不到,学生竟然又出现了以下几种拼法及证明:
 图3,易证 △AOB、△COD为正三角形，△OBC为含30°的等腰三角形，因此，OB=OC=OA=OD=AB=DC.
 图4，连DE，易证△DEB为正三角形，△ADE、△DEC为含30°的等腰三角形BD=BE=DE=AD=EC。
 图5，作OE⊥BC, 得△ABO≌△EBO≌△ECO≌△DCO，AB=BE=CE=CD。
 ④再问直角三角形，只有直角边等于斜边的一半，能否有这条直角边所对角为30°？能否用刚才的拼图进行说明？相对于这一问，有了上面几种思路的基础，也容易得到问题正确结论，毋须多说，上述这一情境既调动了学生积极性，又落实了教学目的，更重要的是把以等腰、等边及全等三角形知识进行巩固。
 情景2，新课标对繁复几何论证作了调整，同时也加强了几种变换的运用。我在特殊三角形复习课时结合二者内容。设置如下动手实践活动（课前要求同学们准备剪刀、厚纸）首先提出问题。
如图，在正方形ABCD中，边BC、CD有两个动点M、N，
若∠MAN=45°不变，问BM、DN与MN有怎样的等量关系，并说明理由？
 做法：要求同学们按小组进行合作探究①剪边长约为10厘米的正方形纸片，画上相应线段、标上字母。②量一量三条线段关系。③通过剪一剪，折一折等能发现什么，比如全等三角形等。
     通过一段时间小组实践，教师适当启发，小组很快找到了两种不同的方法。①把△AND剪下与△ABM拼在一起，发现两个三角形能够完全重合。②有的小组发现不剪下只要把△ABM、△AND  沿 AM、AN分别对折就可得到结论BM+DN=MN，在此基础上，老师适当引导，一方面可用全等思想，另一方面可用几种变换的思想得到本题两种简单说理方法。
 解析（一）图1、本例虽通过构造全等三角形经过二次全等进行推理论证，但过程较繁复，可运用旋转对称。
 ∵AB=AD
 把△ADN绕A顺时针旋转90°得△ABE
 ∵∠ABE=∠D=∠ABC=90°
 ∴E、B、M在同一直线上
 ∵∠EAM=∠BAM+∠DAN=90°—∠MAN=45°
 ∴∠EAM=∠MAN，且AE=AN
 ∴△AEM和△ANM关于AM轴对称
 ∴EM=MN
 即BM+DN=MN
解析（二）图2利用轴对称思想
 ∵ ∠MAN=45°
 ∴ ∠BAM + ∠DAN= 45°，且AB=AD
 把△ABM和△AND分别沿AM、AN对折，则
 AB和AD重合于AE，且∠AEN=∠AEM=90°
 由此M、E、N在同一直线上，
 BM+DN=ME+NE=ME
     为使学生此类问题和思想得到巩固，又提出如下问题：
 例2，如图，在Rt△ABC中,∠ACB=Rt，AC=BC，M、N是AB上两个动点，∠MAN=45°不变，问AM2、BN2与MN2有怎样关系？并说明理由。
 对此问题，首先启发学生三条线段平方与直角三角形勾股定理联系起来。问题三条线段怎样成为直角三角形的三边，要求同学们剪边长为10厘米的等腰直角三角形进行剪一剪，拼一拼或折一折，有了例1的铺垫，师生易完成本题两种解法。
解析(一)如图3
 ∵AC=BC
 把△CAM绕C点顺时针转90°得△CBD
 ∴DB=AM，连ND
 ∵ ∠NCD=∠NCB+∠DCB=90°—∠MCN=45°
 ∴∠NCD=∠NCM，
 ∴△MCN和△DCN关于CN轴对称∴DN=MN
 ∵∠NBD=2×45°=90°
 ∴DB2 + BN2=DN2即AM2 +BN2=MN2
解析(二) 如图4
 把△ACM沿CM翻折,得△DCM
 ∵∠MCN=45° ， ∠ACM=∠MCD
 ∴∠DCN=∠BCN
 ∴△DCN和△BCN关于CN轴对称,
 ∴MD=MA,ND=NB,
 且∠MDN=∠A+∠B=90°
 ∴MD2+ND2=MN2
 即AM2 +BN2=MN2.
    情景3，在教浙江版八上《3.2直棱柱表面展开图》时，本节的一个重点立方体展开图。课前要求学生做好立方体模型或预习课本剪好一些出现的立方体展开图和剪刀。讲到立方体展开问题，要求进行小组合作交流，教师先演示，剪开几个立方体，学生同组之间拿出自己做的和当场剪开的展开图，相互交流探讨不同的展开图。小组展示成果的基础上，师生一起归纳出下面四大类。
     ①141型上下单块可移动，相应有6种形状。

②132型，单块可移动，相应有3种形状。

 
 ③222型和33型较特殊，不可移动。
 教师启发下，归纳出简记口诀“一三二”, “一四一”， “一”在同层可任意；“三个二”成阶梯；“二个三”，“日”字连；异层“日”字连，整体没有“田”。
      因为学生手中都有展开图模型，又开展相对、相邻关系小组探究练习，学生动起手来自然，又有兴趣。
    练习1、如图所示是一个多面体的平面展开图，把它围成多面体（1）“你”字对面是什么字？（2） “你”在左面，“前”在底面，主视面是什么字？
       练习2、把无盖正方体纸盒展开，（1）沿棱剪下最少剪几条棱？（2）展开图的形状有哪几种？   
 通过小组合作合学，又有模型把弄，学生较易弄清，特别是练习2进行完整归纳出以下八种展开图。

 数学课堂引入动手实践，从课后调查发现学生一方面增强学生学习的兴趣性和主动性；另一方面对知识的巩固和深入性。既培养动手能力，又为小组合作学习打下了基础，因动手实践常常在相互合作中完成。在课堂教学中，我们如果多提供机会让学生动手操作，鼓励学生求异创新，可以进一步开拓学生思路，培养学生的创新精神和创新能力，使得学生在动手过程中，既掌握了知识，又提高了实践能力和思维能力。

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