精彩的课堂源于思路的开放--平均数

   《数学课程标准》明确提出：要重视对学生应用意识的培养，强调学数学的目的就是用数学，学生应认识到数学与日常生活和现实世界之间的联系，能用数学知识解决日常生活中的问题。同时，《数学课程标准》强调，要创造性地使用教材，要求教师以发展的眼光来对待它。允许并倡导教师对教材给定的内容有其自身的理解，对给定内容的意义有其自身的解读，以使给定的内容不断地转化为“自已的课程”，实现对教材的创造和开发，为学生提供丰富多彩的学习素材。
    背景说明
平均数是统计中的一个重要概念。小学数学里所讲的平均数一般是指算术平均数，也就是一组数据的和除以这组数据的个数所得的商。在统计中算术平均数常用于表示统计对象的一般水平，它是描述数据集中程度的一个统计量。我们既可以用它来反映一组数据的一般情况，也可以用它进行不同组数据的比较，以看出组与组之间的差别。用平均数表示一组数据的情况，有直观、简明的特点，所以在日常生活中经常用到，如平均速度、平均身高、平均产量、平均成绩等等。
 案例描述
 给学生一个题目去思考
 课始，我问学生：“我们小曹娥有一个非常有名的基地，就是梨头园，果农在收获之前，常常会先估计果园里果树的产量，你认为应该怎样估计呢？”这样一问，引起学生极大的兴趣，学生各抒已见纷纷举手争抢发言。
 (数学教学应该是数学活动（思维活动）的教学，而不仅是教学活动的结果（数学知识）的教学。数学教学应该重视学生获取知识的思维过程，重视创设情境，引导学生参与学习过程。整堂课的开始以现实情况入手，创设一个问题情境，使学生对学习内容感兴趣，自觉地投入学习过程。)
生1：用眼观察，跟去年的收成相比较，如果结的果实比去年多，那产量就比去年高，如果结的少了，那产量就比去年低。
 生2：估计每一棵树的产量，然而估算出整个果园的产量。
 生3：先估计每个苹果的重量，然后估计每一棵树有多少个苹果，最后算一下有多少棵树，那就可以估算出整个果园的产量。（这个学生可能已预习过这一节的内容。）
 （学生讨论较激烈，教师努力营造一个有利于学生生动活泼，主动求知的宽松的学习环境，从学生的生活经验和已有知识背景出发，向他们提供充分活动和交流的机会，使他们在倾听别人意见的过程中逐渐完善自己的想法，学会与他人交流。）
 二、给学生一个条件去锻炼
 师：请同学们看大屏幕
 （出示）1、某果农种植的100棵梨头树即将收获，果品公司在付给果农定金前，需要对这些果树的梨头总产量进行估计。
 果农任意摘下20个梨头，称得这20个梨头的总质量为6千克，这20个梨头的平均质量是多少千克？
生：0.3千克
 果农从100棵梨头树中任意选出10棵，数出这10棵梨头树上的梨头数，得到以下数据（单位：个）142，145，155，145，139，140，152，152，150，150，你能估计出平均每棵树的梨头个数吗？
 生：147个
 师：同学们算得太准确了，刚才你们算的这几个数就是这些数据的平均数。
 （板书）如果有n个数x1,x2…,xn我们把叫做这n个数的算术平均数（arithmetic mean），简称平均数（mean），记做（读做“拔” ）                                                                         
 根据上述两个问题，你能估计出这100棵梨头树的梨头总产量吗？
生：0.3╳147╳100=4410（千克）
 师：在实践中，常用样本数据的平均数来估计总体的平均数，例如：用20个梨头的平均质量0.3千克来估计100棵梨头树上梨头的平均质量，用10棵树的平均梨头个数147个来估计100棵树的平均梨头个数。
（通过选用学生熟悉的实际生活背景，利用问题串的形式由浅入深，逐层递进，从简单到复杂，让学生体会用样本估计总体的思想。用样本平均数去估计总体平均数，来解决一些具体问题。让不同层次的学生都能有所收获，有所成功。）
 三、给学生一个空间去发展
（给出几张关于篮球赛的相应图片）在篮球比赛中，队员的身高是反映球队实力的一个重要因素，如何衡量两个球队队员的身高？怎样理解“甲队队员的身高比乙队更高”？要比较两个球队队员的身高，需要收集哪些数据呢？
（学生思考片刻，纷纷举手抢着回答，连平时比较沉默的学生也抢着说。问题能促进学生在课堂中主动思考和积极探究。在学生讨论和解答问题时，他们都能投入到有意义的数学学习中。）
生：……

师：我给同学们收集了2000~2001年八一双鹿队和上海东方大鲨鱼队各队员的身高和年龄
算算哪一队的身高较高，哪一队更年青?

（以学生关注并喜爱的事为例，自然地创设生活情境，激发学生的学习兴趣，缩短了学生与教师之间的距离，创设了良好的课堂氛围。）
 过了几分钟以后，很多同学都有了他们的结论，我挑选了几个同学做的内容展示给全班看，重点讲了二个同学做的，一位同学算上海东方队员的平均年龄是这样的，
 平均年龄=（24+21+29+21+21+29+24+34+18+18+23+21+24+26+16）/15≈23.3（岁）
 ）
另一位同学是这样算的:
平均年龄=（16╳1+18╳2+21╳4+23╳1+24╳3+26╳1+29╳2+34╳1）/（1+2+4+1+3+1+2+1）≈23.3（岁）
师：你们能说说这二者的差别吗？
 学生们议论了一会儿笑笑说：老师，第一种计算的比较全面，第二种是计算的一种简便方法。
师：第二种形式我们称为加权平均数。
（板书）这种形式的平均数叫做加权平均数（weighted  mean），其中1，2，4，1，3，1，2，1表示各相同数据的个数，称为权（weight）。  “权”越大，对平均数的影响就越大
 （注重数学知识的联系，给学生提供探索与交流的空间，让学生经历数学知识的生成过程，由学生自然引出加权平均数。学生认知过程的心理特点告诉我们：只有学生充分感知了对象，才可能理解，而理解了的东西才容易牢固记忆。理解程序越高，记忆越牢，运用起来越自如。）
 师：同学们，在一次广播操比赛中，有三个班级的各项得分如下：
 
 
 
 
如果根据三项得分的平均数从高到低确定名次，那么三个班的排名顺序怎样？
 （由学生自己独立完成，并请二个同学在黑板上完成。）
如果学校认为这三个项目的重要程序有所不同，而给予这三个项目的权的比为15：35：50，以加权平均数来确定名次，那么三个班的排名顺序又怎样？
师：第（2）题涉及加权平均数，我们以801班为例，表中相应的3个数据为x1=80,x2=84,x3=87,给定三个项目的权的比为15：35：50，即表示f1:f2:f3=15:35:50,因此可设f1=15k,f2=35k,f3=50k(k>0)
加权平均数为 （分）
师：剩余二个班级的加权平均数由我们同学来完成，并得出三个班的排名顺序。
（学生们都信心十足的要求到上面来做题，教师要引导学生思考各项重要性的差异对结果（平均数）的影响，以巩固加权平均数的概念。）
四、给学生一个环境能创造灿烂的明天。
师：这几个问题大家都完成得非常好，下面我们一起总结一下：这节课，我们学到了什么？要注意什么？体会最深的是什么？
生1：我们学习了算术平均数，加权平均数的概念，会计算算术平均数和加权平均数。
生2：会用样本的平均数来估计总体平均数。
生3：要注意求加权平均数时对权的理解。
生4：这节课体会最深的就是数学与现实紧密相联，例如上次我姐姐找工作就是以笔试成绩的20%加上面试成绩的80%的和来决定。跟我们现在学的意义一样。
……
 （培养学生反思自己的学习过程的意识，有利于学生掌握，巩固新知，并促使学生进行深入思考和探索）
 师：同学们让我们用今天所学的知识来帮助你爸妈来估计一下今年榨菜的收成如何好吗？
课后反思
 首先，这节课的教学内容都是学生们熟知的和身边的事实，是现实的有意义的，富有挑战性的。这些内容有利于学生联系实际，主动进行观察，验证推理与交流等数学活动。因此，教师应从多角度，多渠道来整合学习材料，为学生提供丰富的学习内容，包括创造性地使用教材，积极开发利用社会，生活中的数学教育资源，激发学生的学习欲望。
 其次，创设问题情境时善于从“生活现象”引入新知，问题小而具体，新而有趣，富有启发性和挑战性。在学生发表自己的观点时，尊重个人与众不同的疑问或观念，给学生更多的学习机会，使之树立学好数学的信心。
 再次，本课例以“方案自己拿，结论自己找”为原则。把课堂还给学生，把平等还给学生，把自由还给学生。教师从在教室中的“独白”转向与学生的“混合打”的角色。在课堂上给学生独立思考的时间和空间，充分解放学生的口、手和思维，让学生敢说、敢做、敢发表自己的见解，展现了一种课堂教学的新型师生关系。

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