反思——提高数学素质的有效途径

 摘   要：《数学课程标准》明确要求学生通过对解决问题过程的反思，获得解决
问题的经验。根据实际，学生主要反思解题本身是否合理和正确，是否能一题多解和多题一解，提高综合解题能力，并且作系统小结。数学教学重要的是培养学生的思维能力，使其经历探索的过程，提高数学素质。
 关键词：反思    数学素质    解题能力

 在数学教学过程中，尽快提高学生的数学素质，培养学生的数学能力，首先当然要有良好的学习习惯，听课时要处理好听、思、说、记的关系，及时复习，还有非常重要的一点，要注重解题反思。数学能力的提高离不开做题，但解题后的反思更重要，与其匆匆忙忙的抢做5张试卷，还不如深入透彻的掌握3张试卷，追求解题质量，好好反思每一道题，新课标明确要求引导学生积极探索经历反思过程，提高数学思维能力。
    解题后反思哪些问题呢，根据学生实际，主要有以下几个方面：
（一）反思解题本身是否合理和正确。
 1、题目做好以后，反思结论是否符合实际，切记结论荒谬，出现像这种地球卫星离地面的最远距离为3cm。
 2、检查是否笔误或概念不清。笔误在做几何证明题时经常会出现，在用三个字母表示角时，切记字母写错，因此在几何证明题做好以后，要从头到尾再检查一遍。还有一些中差学生概念不清，如：函数y＝     的自变量x的取值范围为_________。有很多同学答案为x≠0，把分母不为0，误认为x≠0。
    3、是否审题不仔细或忽视了隐含条件。
    例1.（1）Rt△ABC的两边分别为3和4，则斜边长为 4或5。
        （2）Rt△ABC的两边分别为3和4，则第三边长为5或    。
    很多同学把这两题混淆起来，数学语言的表达是十分准备并具有特殊意义，对于题目中的每一个字，每一个符号，每一句话都要进行斟酌，把隐含在条件中的某种关系挖掘出来。
    例2.在较长一段时间内，每天都有一艘轮船从甲地开往乙地，并且每天的同一时刻也有一艘轮船从乙地开往甲地。两地轮船在途中来去的时间都是七昼夜，而且都是匀速航行在同一航线上，则每一条从甲地出发的轮船直到抵达目的地，共将会遇到对面开来的轮船几只？
    分析：大多数的学生考虑每天开出一艘轮船，7昼夜开出7艘轮船，故将遇到7只；也有的同学认为轮船到达乙地时恰逢第八天起航的轮船，故将遇到8只；从而忽略了“在较长的一段时间内”这个隐含条件。事实上，甲地开出的轮船最早遇到的不是当天同一时刻乙地开出的轮船，而是在这之前乙地开出的轮船。（正确答案是15只）
    4、运算是否正确
    对于计算类型的题目，做完以后，一般要再验算一遍。很多同学都会出现算了两遍，甚至3遍，出现同一个答案，以为正确。试卷一发下来，才恍然大悟，这是由于思维定势的影响，我们应从不同的角度进行验算。
    5、以特殊代替一般
    如在中学数学的几何证明题中，有些同学画特殊图形代替一般图形，造成证题推理无根据。
    例3.在△ABC中，AB＝AC，D是BC上的任意一点，E是AC上的任意一点，AD＝AE，求证：∠BAD＝2∠EDC。
    错误证法：假设D 是BC 的中点，
    ∵AB＝AC
    ∴AD⊥BC，AD平分∠BAC
      （等腰三角形三线合一）
    令∠BAD＝α，则∠DAC＝α
    ∵AD＝AE（已知）  ∴∠ADE＝∠AED
    ∵∠DAE＋∠ADE＋∠AED＝180°
    ∴∠ADE＝   （180°－∠DAE）＝  （180°－α）＝90°－   α   
    ∴∠EDC＝90°－∠ADE＝90°－（90°－   α）＝  α ＝   ∠BAD
    上述5个方面是解题后该反思的基本问题，考试时如此，平时更应如此，养成解题后反思的良好习惯。事实上，有不少同学只满足于一知半解，解完了事，不加探索回顾，任其漏洞百出。
（二）反思一题多解和多题一解，提高综合解题能力。
    数学知识有机联系，解题思路灵活多变，解题方法途径繁多，通过探求一题多解，寻找最优的解题方法，拓宽学生的发散思维能力。
    例4：求一次函数y＝3x－1于y＝－3x＋5的交点坐标。
    分析：可以利用图像法解，也可以利用求方程组的解得出。不同的解法既可以揭示出数与形的联系，又沟通了几类知识的横向联系。
    例5：如图，∠1＝∠5，∠3＝∠4，
∠2＝∠6,求证AD∥BC。
    证法一：∵在△ABF中，
              ∠2+∠3+∠AFB＝180°
              在△AED中，
              ∠6+∠4+∠5＝180°
             ∵∠2＝∠6，∠3＝∠4
             ∴∠AFB＝∠5
             又∵∠5＝∠1，∴∠AFB＝∠1
             ∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）。
     证法二：∵∠2＝∠6
             ∴AB∥CE（内错角相等，两直线平行）
             ∴∠EAB+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
             即（∠2+∠5）+∠4＝180°
             ∵∠5＝∠1，∠4＝∠3
             ∴∠2+∠1+∠3＝180°，即∠2+∠ABC＝180°
             ∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
    上述两种方法，对于中差生，普遍采用前一种证法，可见前一种证法较具体，学生易掌握。
    多题一解可以培养学生化归思维，使学生觉得书“越读越博”，学习能力越来越高，体验到学习的轻松愉快。
    例6：写出两个解为x＞8的不等式。本来都是告诉我们不等式，要求解不等式，现在倒过来考虑，已知不等式的解，怎样求不等式（不过是利用不等式的性质，使其变得复杂而已）。
    例7：（1）线段AB的中点为C，
线段AC的中点为D，若线段BD的
长度为50，那么线段AB的长度为多少？          
 （2）已知∠AOB的角平分线为OC，
∠AOC的角平分线为OD，若∠BOD的度数
为50，那么∠AOB的度数为多少？
     这两道题目的考察角度不同，但方法完全一样。
（三）积极反思，系统小结。
 反思题目能否变换引申，改变题目的条件，会导出什么新结论；保留题目的条件，结论能否进一步加强；条件作类似的变换，结论能否扩大到一般；思维方法能否迁移。
    例8：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，
AB＝DC，求证：∠B＝∠C。
    变形：已知梯形ABCD中，AD∥BC，
AB＝DC，∠B＝60°，AD＝15，AB＝45，
求BC的长。
    分析：该题主要思路是平移腰将梯形分成等腰三角形和平行四边形。结合平行四边形及正三角形的边长特征来解决问题。通过变形，使学生进行全方位的思考，这常常是学生发现新知识，认识新知识的突破口。
    例：求证顺次连接四边形各边中点所组成的四边形是平行四边形。
    分析：此题除了要反思一题多解，还可以将题设变换为特殊的“平行四边形”、“矩形”、“菱形”、“正方形”等情况，以有助于开拓学生的解题思路，让学生思维插上想象的翅膀。
    培养学生解题能力的途径和方法很多，但无论哪种途径和方法，最根本最相通的是离不开思维的训练。注重题后反思，在寻找错误原因中，享受成功，力求相同的错误不犯第二次，优化解题过程，寻求最佳解答方法，举一反三，触类旁通，融会贯通，重视渗透和揭示基本的数学思想方法，使学生经历探索的过程，体验如何用数学思想方法分析和解决问题，培养学习的能力，在他们的心灵中撒播“善于思考”的种子，搭建可持续发展的平台。

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