【论文摘要】  本文对高中数学教材的一道习题的解答质疑，提出自己的修改建议，从而体现数学思维的
严密性与现实生活的紧密联系，在教学的过程中培养学生敢于质疑大胆创新的精神。
【关 键 词】  逻辑性、严密性、连续、间断、人文科学
普通高中课程标准实验教科书数学必修①（广东教材 2004 年 5 月第一版，2005 年 7 月第四次印刷）
中有这样一道题，就是 P120 习题 3.2A 组第三题：
某人开汽车以 60km/h 的速率从 A 地到 150km 远处的 B 地，在 B 地停留 1h 后，再以 50km/h 的速率返回
A 地。把汽车与 A 地的距离 x km 表示为时间 t h（从 A 地出发开始）的函数，并画出函数的图象；再把车
速 v km/h 表示为时间 t h 的函数，并画出函数的图象。
教师教学用书 P98 是这样给出的答案

在数学上，我们知道函数是“两个非空数集间的一种确定的对应关系”。即：一般地我们有：设 A，B
是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有惟一确定
的数 f（x）和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y=f（x），x∈A。A 叫做
函数的定义域。由这个定义来看，该两个函数都是分段函数，他们的定义域均为[0，6.5]，。“转折点”为
t=2.5 与 t=3.5。对于本题第一问，由于在两个转折点处函数的图象是连续的．．．，t=2.5h 与 t=3.5h 均可以作
为前一个过程的结束时刻，也可以作为下一个过程的开始时刻，函数在这两点处的取值对于第一问的解答
是没有影响的，而且也与实际情况相吻合。但是，对于第二问来说，因为函数 v（t）在 t=2.5 与 t=3.5 两
点是间断的．．．，从函数定义的角度来看，速率函数在 t=2.5 与 t=3.5 的取值只能有惟一的一个值，到底是 60、
0 还是 50？那么这个看似很简单的解答，我认为它是自相矛盾的。
由第一、三两段函数可知，作者近似的认为汽车从 A 地出发（t=0）以及到达 B 地（t=2.5h）时速度均
为 v=60km/h；汽车最后返回 A 地（t=6.5h）时，v=50km/h。但是不知道大家注意到了没有，汽车从 A 地出
发（t=0）与汽车从 B 地返回的开始时刻（t=3.5h）显然是完全相同的状态，赋值也应该是一样的方法，按
照作者的思维逻辑，我们应该认为 t=3.5h 时，v=50km/h。可是由函数解析式第二段可知 t=3.5h 时，v=0
（但我不否认此时刻认为 v=0 是正确的），但是，由函数的定义可知，函数在 t=3.5 时函数值只能有惟一的
一个，那么此时 v 到底是 0 还是 50？因为汽车从 A 地出发（t=0），到达 B 地（t=2.5h），从 B 地返回的开
始时刻（t=3.5h）以及到达 A 地停车（t=6.5h）的速度均为 0，汽车在行驶的过程中速度不为 0，得到的数
学结果才更符合实际，更容易被学生接受。
我觉得教学参考书的这个解答很让人费解。所以，这一问题的答案应该改成这样的形式更合乎逻辑：

通过我上面的论述，前后两问的对比，对于函数在某一点处的取值我们切不可草率行事，应该慎重考
虑，以突出数学思维的严密性。

向量法的两难选择
东莞市万江中学  胡彩英
【内容提要】  向量法在解决立体几何问题解决中起关键作用，如解决线线角、线面角、面面角的计算问
题，但是向量法不一定比传统推理方法优越，有时会变得更复杂、难以运算与证明。
【关键词】  向量法  思维定势  两难选择
一、提出问题
（1）（2004 年广东高考卷第 18 题）如右下图，在长方体 ABCD A B C D1 1 1 1 中，已知 AB = 4, AD = 3, AA1= 2 ，

, 分别是线段 , 上的点，且 EB FB = 1，(I)求二面角C ED C−1的正切值；
A1
(II)求直线 EC1与 FD1所成角的余弦值
（2）  （2005 年广东高考卷第 16 题）如图所示，在四面体 P − ABC 中，已知
A
PA = BC = 6 ， PC = AB = 10, AC = 8, PB = 2 34 ． F 是 线 段 PB 上 一 点 ，
CF =1534 ，点 E 在线段 AB 上，且 EF ⊥ PB ．（Ⅰ）证明：PB ⊥ 平面CEF . ；

 从上面两道高考题的解题难度来分析，前题难后题易，但考生得分却是前题高后

题低。为什么会出现这种反差现象呢？如何选择传统方法和向量法？如何避免和克服“该用不用，不该用
却用”的困难呢？                                             
二、分析问题
（1）教师教学的急功近利
对于一些较复杂的立几计算与证明题，过去采用传统几何方法都显得很吃力，而现在运用向量法则简
捷利便，这就促成了教师的教学失策---“立体几何题，首先要考虑向量法，这样解题才容易。”事实上，
向量法是一种很好的解题工具，但有时并不是唯一最简化的立几解题方法，并且有时会变得更复杂、难以
运算，大大地降低了解题效率。这种常见的高考应试解题训练存在着一些弊端，教师急功近利的教学意识
有必要减弱。
（2）思维定势的消极影响
学生对向量法“该用不用，不该用却用”的做法正是方法模式一成不变所导致的错误，正是思维定势
的消极表现。在过分强调向量法的解题功能的教学环境下，学生不知不觉地形成了“一见立几就建坐标系”
解题思维模式，而把传统的几何推理方法（取中点、作平行线、添作辅助线等）都忘掉，造成解答过程复
杂化。
（3）解决问题
3.1  加强变式训练，重视灵活运用
学生最先接触的知识对后面的知识产生抑制作用，其思维出现停滞，无法更新知识。如果学生没有理
解概念、公式、定理的实质，停留在以前的几何推理方法或者刚学的向量法的范围内，就会出现解题过程
中“简单问题复杂化”。
3.2  注意知识的拓展和融会贯通，培养发散思维能力                                         
对于同一个数学问题，根据教学实际和学生的认知水平，从不同的角度给予多种考虑，用不同的方
式给予多种处理，培养学生的发散思维方式，是突破思维定势和发展学生智力的一个有效途径。教师应该
注意引导学生摆脱思维定势，及时转换思路的习惯，教会学生善于观察、联想、类比、转化等方法。
4.  总结
当前新课程改革的大形势下，克服消极的思维定势的最有效途径是进行开放式教学模式。具体来说，
我们应努力营造和谐的、融洽的师生关系，教师“退居幕后”，以学生为主体，课堂上师生友好交流、讨论、
探究，特别是紧紧抓住研究性课题、实习作业等创设问题情景，引导学生进行小组讨论、合作交流等，这
样有利于培养学生的创造性思维、发散性思维。

相关论文