“等时圆”模型的基本规律及应用

（此文章已发表于《考试》杂志）

 前段时间在网上发了一个帖子“等时圆规律有哪些应用”，居然有同志认为是“等势圆”吧。而在物理教学中，借助各种模型，把抽象问题具体化，把复杂问题简单化，能使得物理问题便于理解和接受。基于此我对“等时圆”规律和应用阐述如下：
一、何谓“等时圆”
 如图1所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a、b、c处释放（初速为0），用t1、t2、t3依次表示各滑环到达d所用的时间，则（    ）
 A.t1<t2<t3           B.t1>t2>t3     C.t3>t1>t2     D.t1=t2=t3 
 解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图所示，设圆半径为R，由牛顿第二定律得，
                       ①  
 再由几何关系，细杆长度  ②
 设下滑时间为，则         ③
 由以上三式得，   可见下滑时间与细杆倾角无关，所以D正确。由此题我们可以得出一个结论。
 结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。
 推论：若将图1倒置成图2的形式，同样可以证明物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。
 象这样的竖直圆我们简称为“等时圆”。关于它在解题中的应用，我们看下面的例子：
二、“等时圆”的应用
可直接观察出的“等时圆”
 例1：如图3，通过空间任一点A可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（   ）
 A.球面     B.抛物面     C.水平面     D.无法确定
解析：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以A正确。
 例2：如图4，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于点A，竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为600，C是圆环轨道的圆心，D是圆环上与M靠得很近的一点（DM远小于CM）。已知在同一时刻：a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点；c球由C点自由下落到M点；d球从D点静止出发沿圆环运动到M点。则：（   ）
 A、a球最先到达M点         B、b球最先到达M点
 C、c球最先到达M点         D、d球最先到达M点
解析：设圆轨道半径为R，据“等时圆”理论，ta==2 ， tb> ta ；c做自由落体运动tc= ；而d球滚下是一个单摆模型，摆长为R，td== ，所以C正确。
2、运用等效、类比自建“等时圆”
例3：如图5所示，在同一竖直线上有A、B两点，相距为h，B点离地高度为H，现在要在地面上寻找一点P，使得从A、B两点分别向点P安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A和B沿木板下滑到P点的时间相等，求O、P两点之间的距离。
解析：由“等时圆”特征可知，当A、B处于等时圆周上，且P点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要求。
如图6所示，此时等时圆的半径为：
     
所以  
 例4：如图7， AB是一倾角为θ的输送带，P处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P与AB输送带间建立一管道（假使光滑），使原料从P处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应为多大？ 
 
 解析：借助“等时圆”，可以过P点的竖直线为半径作圆，要求该圆与输送带AB相切，如图所示，C为切点，O为圆心。显然，沿着PC弦建立管道，原料从P处到达C点处的时间与沿其他弦到达“等时圆”的圆周上所用时间相等。因而，要使原料从P处到达输送带上所用时间最短，需沿着PC建立管道。由几何关系可得：PC与竖直方向间的夹角等于θ/ 2。
三、“形似质异”问题的区分
 1、还是如图1的圆周，如果各条轨道不光滑，它们的摩擦因数均为μ，小滑环分别从a、b、c处释放（初速为0）到达圆环底部的时间还等不等？
 解析：bd的长为2Rcosθ，bd面上物体下滑的加速度为a=gcosθ-μgsinθ，tbd==2。可见t与θ有关。
 2、如图9，圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板aO、bO、cO，其下端都固定于底部圆心O，而上端则搁在仓库侧壁，三块滑块与水平面的夹角依次为300、450、600。若有三个小孩同时从a、b、c处开始下滑（忽略阻力），则  （     ）
 A、a处小孩最先到O点       B、b处小孩最先到O点
 C、c处小孩最先到O点       D、a、c处小孩同时到O点
 解析：三块滑块虽然都从同一圆柱面上下滑，但a、b、c三点不可能在同一竖直圆周上，所以下滑时间不一定相等。设圆柱底面半径为R，则=gsinθt2，t2=，当θ=450时，t最小，当θ=300和600时，sin2θ的值相等。

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