图象法处理实验数据的复习

    高考对物理实验能力的考核很重视，尤其是实验原理和数据处理能力的考核。学会分析和处理实验数据是一项很重要的实验技能，掌握这种实验技能，不仅对学生在高考上灵活解题非常有益的，而且对学生在今后离开学校参加工作后独立处理问题也是不无好处。图象是描述物理过程、揭示物理规律、解决物理问题的重要方法之一，用图象法处理实验数据是物理实验中最常用的方法。它的优越性表现在：能形象直观地表达物理规律，有效地减少偶然误差对结果的影响，较方便地获得未经测量或无法直接测量的物理量数值，还能有效地避免错误。高中物理实验中出现的误差或错误，有的在利用图象进行数据处理时从图象直接反映出来，像单摆测重力加速度实验；有的可利用图象来减少麻烦的计算，像测匀变速直线运动测加速度实验；还有的可利用图象来分析测量值与真实值之间的偏差，像测量电源电动势和内阻的实验。下面就这三方面举例来对高中物理实验数据处理进行复习。
一、图象法处理数据避免实验错误或误差
 在单摆测重力加速度的实验原理中，由得。要测g，只要测出摆线长l线和摆球直径d，及n次摆动周期的时间t。就可以利用公式求出g,且多测几次求平均值即可。但此实验可以用图象法来进行处理，只要根据公式得到T2与L成正比，若把实验测得的多组数据转化成（L ，T2）或（T2 ， L）然后建立坐标轴，将上述数据描到坐标上，连接各点就可得到一条过坐标原点的直线。由直线的斜率可得g.实验中得到的图象是：
  

但有些同学实验画图时确得到了这样的图象：

为何会出现这样的结果呢？不难看出公式中，若在画图时，摆长认为是L=l线，则画出的图线就是图2；若摆长认为是L=l线+d，则画出的图线是图3。若在测周期时把n次时间记成了n-1/2次，则图象中的图线就也成了图2；若没周期时把n次记作了n+1/2次，则图线也就成了图3。还有若测量过程对了，但测量误差大，则画出的图线也就不可能过坐标原点。所以由图象法处理实验数据时可以看出实验中的错误及误差。
 二、图象法处理数据避免繁琐的计算
    在有些实验中，最后的结果需要经过繁琐的计算才能得到。例如，在测匀加速直线运动的加速度实验中，加速度的计算：  
则 ，所以 ，    则
把代入可得：    。
这样计算是很烦琐的。若用图象法作图来得结果将变得相当简单。根据Δs=aT2，选取T2为横坐标，选Δs为纵坐标。由纸带上的点量出不同时间间隔的Δs，可以取一个时间间隔的Δs，坐标为（T2,Δs）；再取两个时间间隔的Δs，坐标为（4T2 ,4Δs）；……取n个时间间隔的△s，坐标为（（nT）2 ,  n2△s）,以些类推。在坐标轴上描点即可得图4：

只要根据图象中直线的斜率就可求出加速度，利用此方法大大简化了计算过程，而且缩小了误差。在测电源电动势和内阻的实验中也一样可以利用些法的。
 三、图象法分析测量值和真实值之间的偏差
 在实验的测量和计算的过程中，总会存在系统误差。能确定实验中的误差，将有利于帮助学生进一步的理解知识。在实验中处理数据时，我们常常是作出图象，然后依图象斜率及截距的理论意义求得测量值．然而图象是根据测量值画出的，其斜率及截距的真实值与其理论值的误差即实验的系统误差．分析系统误差时，我们只要根据实验原理和相关物理规律推出图象所依赖的数学解析式，并求得斜率及截距的真实值，用之与理论值相比较，便可知系统误差情况．下面就图象法确定真实值和测量值之间的大小关系举两例。
 例（1）分析“用电流表和电压表测电池电动势和内阻”实验的系统误差．　
 a、图象法处理实验数据的原理

 这个实验通常采用以上两个电路：电流表内接法（如图5）和电流表外接法（如图6）．实验时按电路图连接好电路，通过调节滑动变阻器从电压表和电流表读出多组Ｕ、Ｉ值，并作出Ｕ-Ｉ图象根据闭合电路欧姆定律Ｕ＝ε－Ｉｒ，可知：在Ｕ-Ｉ图象上，曲线的纵截距即为电池电动势的测量值，而曲线斜率的绝对值即是电池内阻的测量值．如图7所示。
 b、误差分析
 采用图5电路时，由于电压表的分流作用，使得电流表读数小于通过电池的电流，而产生系统误差．设电压表读数为Ｕ测，电流表读数为Ｉ测．实验中是由电压表和电流测出多组Ｕ、Ｉ值并描点作图画出Ｕ-Ｉ图象的，它并不是理论上的Ｕ-Ｉ图象，而是Ｕ测-Ｉ测关系曲线，那么，Ｕ测-Ｉ测的函数关系式是什么呢？设电压表的内阻为Ｒv，通过电压表的电流为Ｉv，电池电动势的真实值为ε，电池内阻的真实值为ｒ，则由图5电路分析可知Ｕ测＝ε－（Ｉ测＋Ｉv）ｒ，又Ｉv＝Ｕ测／Ｒv，所以有Ｕ测＝ε－（Ｉ测＋Ｕ测／Ｒv）ｒ，整理后得到Ｕ测-Ｉ测的函数关系式如下Ｕ测＝（Ｒv／（Ｒv＋ｒ））ε，ε=（Ｒvｒ／（Ｒv＋ｒ））Ｉ测．由此函数式知，在由图5电路实验测得的多组Ｕ测、Ｉ测值画出的Ｕ测-Ｉ测图象上，曲线纵截距和斜率大小分别为ε测＝（Ｒv／（Ｒv＋ｒ））ε，ｒ测＝Ｒvｒ／（Ｒv＋ｒ）．　 由此很容易看出：ε测＜ε，ｒ测＜ｒ．并不难得出结论：当Ｒv>>ｒ时，采用电流表内接法（如图5）系统误差小。实际测量结果和真实值的图线如图8。
 采用图6所示电路时，电路引起的系统误差主要是由于电流表的分压作用，使电压表读数小于路端电压．设电流表的内阻为ＲA，电压表和电流表的读数分别为Ｕ测和Ｉ测，那么，由图6电路测出的多组Ｕ测、Ｉ测值画出的Ｕ测-Ｉ测图象的函数关系式是什么呢？由闭合电路的欧姆定律有Ｕ测＝ε－Ｉ测ｒ－Ｉ测ＲA，　 即Ｕ测＝ε－（ｒ＋ＲA）Ｉ测。由此函数式知，在由图6电路实验测得的多组Ｕ测、Ｉ测值画出的Ｕ测-Ｉ测图象上，曲线纵截距和斜率大小分别为ε测＝ε，ｒ测＝（ｒ＋ＲA），可见ε测＝ε，ｒ测＞ｒ．由此得出结论：当ＲA→ｒ时，ｒ测→ｒ，即当电流表内阻远小于电池内阻时，采用电流表外接法（如图6）电路引起的系统误差小．实际测量值图线和真实值的图线如图9。
 例２ “用电压表和电流表测电阻”实验的系统误差分析．　
 a、图象法处理实验数据的原理
 将待测电阻Ｒx按图10或图11所示电路接入电路，通过调节滑动变阻器，测出多组Ｕ、Ｉ值并作出Ｕ-Ｉ图象．依部分电路欧姆定律，Ｕ-Ｉ图象的斜率即为Ｒx的测量值．
 b、误差分析　
  
 设电流表内阻为ＲA，电压表的内阻为Ｒv，电流表的读数为Ｉ测，电压表的读数为Ｕ测．对图10电路：因电流表的分压作用，Ｕ测、Ｉ测的数学解析式为　 Ｕ测＝Ｉ测（ＲA＋Ｒx），Ｕ测-Ｉ测图线的斜率为ｋ＝ＲA＋Ｒx＝Ｒ测＞Ｒx，如图12中的R测1．可见，电阻的测量值比真实值偏大，并可推知：当Ｒx>>ＲA时，采用此电路测量引起的系统误差小．对图11电路：由于电压表的分流作用，Ｕ测、Ｉ测的数学解析式为Ｕ测＝Ｉ测ＲvＲx／（Ｒv＋Ｒx），Ｕ测—Ｉ测图象上，图线斜率为ｋ＝ＲvＲx／（Ｒv＋Ｒx）＝Ｒ测＜Ｒx，如图12中的R测2．可见，电阻的测量值比真实值偏小，并可推知：当Ｒx<<Ｒv时，采用图11电路系统误差较小．
 以上的三种方法还可以在验证机械能守恒定律实验、测玻璃的折射率等实验中应用。
 

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