实变数的函数论（英文）电子书

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　　1 The topology of metric spaces 13
　　1.1 Metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
　　1.2 Completeness and completion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
　　1.3 Normed vector spaces and Banach spaces. . . . . . . . . . . . . . 17
　　1.4 Compactness. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
　　1.5 Total Boundedness. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
　　1.6 Separability. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
　　1.7 Second Countability. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
　　1.8 Conclusion of the proof of Theorem 1.5.1. . . . . . . . . . . . . . 20
　　1.9 Dini’s lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
　　1.10 The Lebesgue outer measure of an interval is its length. . . . . . 21
　　1.11 Zorn’s lemma and the axiom of choice. . . . . . . . . . . . . . . . 23
　　1.12 The Baire category theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
　　1.13 Tychonoff’s theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
　　1.14 Urysohn’s lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
　　1.15 The Stone-Weierstrass theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
　　1.16 Machado’s theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
　　1.17 The Hahn-Banach theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
　　1.18 The Uniform Boundedness Principle. . . . . . . . . . . . . . . . . 35
　　2 Hilbert Spaces and Compact operators. 37
　　2.1 Hilbert space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
　　2.1.1 Scalar products. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
　　2.1.2 The Cauchy-Schwartz inequality. . . . . . . . . . . . . . . 38
　　2.1.3 The triangle inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
　　2.1.4 Hilbert and pre-Hilbert spaces. . . . . . . . . . . . . . . . 40
　　2.1.5 The Pythagorean theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
　　2.1.6 The theorem of Apollonius. . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
　　2.1.7 The theorem of Jordan and von Neumann. . . . . . . . . 42
　　2.1.8 Orthogonal projection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
　　2.1.9 The Riesz representation theorem. . . . . . . . . . . . . . 47
　　2.1.10 What is L2(T)? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
　　2.1.11 Projection onto a direct sum. . . . . . . . . . . . . . . . . 49
　　2.1.12 Projection onto a finite dimensional subspace. . . . . . . . 49
　　5
　　6 CONTENTS
　　2.1.13 Bessel’s inequality. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
　　2.1.14 Parseval’s equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
　　2.1.15 Orthonormal bases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
　　2.2 Self-adjoint transformations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
　　2.2.1 Non-negative self-adjoint transformations. . . . . . . . . . 52
　　2.3 Compact self-adjoint transformations. . . . . . . . . . . . . . . . 54
　　2.4 Fourier’s Fourier series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
　　2.4.1 Proof by integration by parts. . . . . . . . . . . . . . . . . 57
　　2.4.2 Relation to the operator d
　　dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
　　2.4.3 G°arding’s inequality, special case. . . . . . . . . . . . . . . 62
　　2.5 The Heisenberg uncertainty principle. . . . . . . . . . . . . . . . 64
　　2.6 The Sobolev Spaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
　　2.7 G°arding’s inequality. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
　　2.8 Consequences of G°arding’s inequality. . . . . . . . . . . . . . . . 76
　　2.9 Extension of the basic lemmas to manifolds. . . . . . . . . . . . . 79
　　2.10 Example: Hodge theory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
　　2.11 The resolvent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
　　3 The Fourier Transform. 85
　　3.1 Conventions, especially about 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
　　3.2 Convolution goes to multiplication. . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
　　3.3 Scaling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
　　3.4 Fourier transform of a Gaussian is a Gaussian. . . . . . . . . . . 86
　　3.5 The multiplication formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
　　3.6 The inversion formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
　　3.7 Plancherel’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
　　3.8 The Poisson summation formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
　　3.9 The Shannon sampling theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
　　3.10 The Heisenberg Uncertainty Principle. . . . . . . . . . . . . . . . 91
　　3.11 Tempered distributions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
　　3.11.1 Examples of Fourier transforms of elements of S0. . . . . . 93
　　4 Measure theory. 95
　　4.1 Lebesgue outer measure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
　　4.2 Lebesgue inner measure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
　　4.3 Lebesgue’s definition of measurability. . . . . . . . . . . . . . . . 98
　　4.4 Caratheodory’s definition of measurability. . . . . . . . . . . . . . 102
　　4.5 Countable additivity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
　　4.6 -fields, measures, and outer measures. . . . . . . . . . . . . . . . 108
　　4.7 Constructing outer measures, Method I. . . . . . . . . . . . . . . 109
　　4.7.1 A pathological example. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
　　4.7.2 Metric outer measures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
　　4.8 Constructing outer measures, Method II. . . . . . . . . . . . . . . 113
　　4.8.1 An example. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
　　4.9 Hausdorff measure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
　　4.10 Hausdorff dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
　　CONTENTS 7
　　4.11 Push forward. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
　　4.12 The Hausdorff dimension of fractals . . . . . . . . . . . . . . . . 119
　　4.12.1 Similarity dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
　　4.12.2 The string model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
　　4.13 The Hausdorff metric and Hutchinson’s theorem. . . . . . . . . . 124
　　4.14 Affine examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
　　4.14.1 The classical Cantor set. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
　　4.14.2 The Sierpinski Gasket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
　　4.14.3 Moran’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
　　5 The Lebesgue integral. 133
　　5.1 Real valued measurable functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
　　5.2 The integral of a non-negative function. . . . . . . . . . . . . . . 134
　　5.3 Fatou’s lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
　　5.4 The monotone convergence theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . 140
　　5.5 The space L1(X,R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
　　5.6 The dominated convergence theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . 143
　　5.7 Riemann integrability. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
　　5.8 The Beppo - Levi theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
　　5.9 L1 is complete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
　　5.10 Dense subsets of L1(R,R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
　　5.11 The Riemann-Lebesgue Lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
　　5.11.1 The Cantor-Lebesgue theorem. . . . . . . . . . . . . . . . 150
　　5.12 Fubini’s theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
　　5.12.1 Product -fields. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
　　5.12.2 -systems and -systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
　　5.12.3 The monotone class theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . 153
　　5.12.4 Fubini for finite measures and bounded functions. . . . . 154
　　5.12.5 Extensions to unbounded functions and to -finite measures.156
　　6 The Daniell integral. 157
　　6.1 The Daniell Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
　　6.2 Monotone class theorems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
　　6.3 Measure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
　　6.4 H¨older, Minkowski , Lp and Lq. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
　　6.5 k · k1 is the essential sup norm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
　　6.6 The Radon-Nikodym Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
　　6.7 The dual space of Lp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
　　6.7.1 The variations of a bounded functional. . . . . . . . . . . 171
　　6.7.2 Duality of Lp and Lq when μ(S) ﹤ 1. . . . . . . . . . . . 172
　　6.7.3 The case where μ(S) = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
　　6.8 Integration on locally compact Hausdorff spaces. . . . . . . . . . 175
　　6.8.1 Riesz representation theorems. . . . . . . . . . . . . . . . 175
　　6.8.2 Fubini’s theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
　　6.9 The Riesz representation theorem redux. . . . . . . . . . . . . . . 177
　　6.9.1 Statement of the theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
　　8 CONTENTS
　　6.9.2 Propositions in topology. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
　　6.9.3 Proof of the uniqueness of the μ restricted to B(X). . . . 180
　　6.10 Existence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
　　6.10.1 Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
　　6.10.2 Measurability of the Borel sets. . . . . . . . . . . . . . . . 182
　　6.10.3 Compact sets have finite measure. . . . . . . . . . . . . . 183
　　6.10.4 Interior regularity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
　　6.10.5 Conclusion of the proof. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
　　7 Wiener measure, Brownian motion and white noise. 187
　　7.1 Wiener measure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
　　7.1.1 The Big Path Space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
　　7.1.2 The heat equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
　　7.1.3 Paths are continuous with probability one. . . . . . . . . 190
　　7.1.4 Embedding in S0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
　　7.2 Stochastic processes and generalized stochastic processes. . . . . 195
　　7.3 Gaussian measures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
　　7.3.1 Generalities about expectation and variance. . . . . . . . 196
　　7.3.2 Gaussian measures and their variances. . . . . . . . . . . 198
　　7.3.3 The variance of a Gaussian with density. . . . . . . . . . . 199
　　7.3.4 The variance of Brownian motion. . . . . . . . . . . . . . 200
　　7.4 The derivative of Brownian motion is white noise. . . . . . . . . . 202
　　8 Haar measure. 205
　　8.1 Examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
　　8.1.1 Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
　　8.1.2 Discrete groups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
　　8.1.3 Lie groups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
　　8.2 Topological facts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
　　8.3 Construction of the Haar integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
　　8.4 Uniqueness. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
　　8.5 μ(G) ﹤ 1 if and only if G is compact. . . . . . . . . . . . . . . . 218
　　8.6 The group algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
　　8.7 The involution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
　　8.7.1 The modular function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
　　8.7.2 Definition of the involution. . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
　　8.7.3 Relation to convolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
　　8.7.4 Banach algebras with involutions. . . . . . . . . . . . . . 223
　　8.8 The algebra of finite measures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
　　8.8.1 Algebras and coalgebras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
　　8.9 Invariant and relatively invariant measures on homogeneous spaces.225
　　CONTENTS 9
　　9 Banach algebras and the spectral theorem. 231
　　9.1 Maximal ideals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
　　9.1.1 Existence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
　　9.1.2 The maximal spectrum of a ring. . . . . . . . . . . . . . . 232
　　9.1.3 Maximal ideals in a commutative algebra. . . . . . . . . . 233
　　9.1.4 Maximal ideals in the ring of continuous functions. . . . . 234
　　9.2 Normed algebras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
　　9.3 The Gelfand representation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
　　9.3.1 Invertible elements in a Banach algebra form an open set. 238
　　9.3.2 The Gelfand representation for commutative Banach algebras.
　　. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
　　9.3.3 The spectral radius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
　　9.3.4 The generalized Wiener theorem. . . . . . . . . . . . . . . 242
　　9.4 Self-adjoint algebras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
　　9.4.1 An important generalization. . . . . . . . . . . . . . . . . 247
　　9.4.2 An important application. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
　　9.5 The Spectral Theorem for Bounded Normal Operators, Functional
　　Calculus Form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
　　9.5.1 Statement of the theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
　　9.5.2 SpecB(T) = SpecA(T). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
　　9.5.3 A direct proof of the spectral theorem. . . . . . . . . . . . 253
　　10 The spectral theorem. 255
　　10.1 Resolutions of the identity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
　　10.2 The spectral theorem for bounded normal operators. . . . . . . . 261
　　10.3 Stone’s formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
　　10.4 Unbounded operators. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
　　10.5 Operators and their domains. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
　　10.6 The adjoint. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
　　10.7 Self-adjoint operators. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
　　10.8 The resolvent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
　　10.9 The multiplication operator form of the spectral theorem. . . . . 268
　　10.9.1 Cyclic vectors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
　　10.9.2 The general case. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
　　10.9.3 The spectral theorem for unbounded self-adjoint operators,
　　multiplication operator form. . . . . . . . . . . . . . 271
　　10.9.4 The functional calculus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
　　10.9.5 Resolutions of the identity. . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
　　10.10The Riesz-Dunford calculus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
　　10.11Lorch’s proof of the spectral theorem. . . . . . . . . . . . . . . . 279
　　10.11.1Positive operators. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
　　10.11.2 The point spectrum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
　　10.11.3Partition into pure types. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
　　10.11.4 Completion of the proof. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
　　10.12Characterizing operators with purely continuous spectrum. . . . 287
　　10.13Appendix. The closed graph theorem. . . . . . . . . . . . . . . . 288
　　10 CONTENTS
　　11 Stone’s theorem 291
　　11.1 von Neumann’s Cayley transform. . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
　　11.1.1 An elementary example. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
　　11.2 Equibounded semi-groups on a Frechet space. . . . . . . . . . . . 299
　　11.2.1 The infinitesimal generator. . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
　　11.3 The differential equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
　　11.3.1 The resolvent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
　　11.3.2 Examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
　　11.4 The power series expansion of the exponential. . . . . . . . . . . 309
　　11.5 The Hille Yosida theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
　　11.6 Contraction semigroups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
　　11.6.1 Dissipation and contraction. . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
　　11.6.2 A special case: exp(t(B − I)) with kBk 1. . . . . . . . . 316
　　11.7 Convergence of semigroups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
　　11.8 The Trotter product formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
　　11.8.1 Lie’s formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
　　11.8.2 Chernoff’s theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
　　11.8.3 The product formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
　　11.8.4 Commutators. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
　　11.8.5 The Kato-Rellich theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
　　11.8.6 Feynman path integrals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
　　11.9 The Feynman-Kac formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
　　11.10The free Hamiltonian and the Yukawa potential. . . . . . . . . . 328
　　11.10.1 The Yukawa potential and the resolvent. . . . . . . . . . . 329
　　11.10.2 The time evolution of the free Hamiltonian. . . . . . . . . 331
　　12 More about the spectral theorem 333
　　12.1 Bound states and scattering states. . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
　　12.1.1 Schwartzschild’s theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
　　12.1.2 The mean ergodic theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
　　12.1.3 General considerations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
　　12.1.4 Using the mean ergodic theorem. . . . . . . . . . . . . . . 339
　　12.1.5 The Amrein-Georgescu theorem. . . . . . . . . . . . . . . 340
　　12.1.6 Kato potentials. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
　　12.1.7 Applying the Kato-Rellich method. . . . . . . . . . . . . . 343
　　12.1.8 Using the inequality (12.7). . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
　　12.1.9 Ruelle’s theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
　　12.2 Non-negative operators and quadratic forms. . . . . . . . . . . . 345
　　12.2.1 Fractional powers of a non-negative self-adjoint operator. 345
　　12.2.2 Quadratic forms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
　　12.2.3 Lower semi-continuous functions. . . . . . . . . . . . . . . 347
　　12.2.4 The main theorem about quadratic forms. . . . . . . . . . 348
　　12.2.5 Extensions and cores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
　　12.2.6 The Friedrichs extension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
　　12.3 Dirichlet boundary conditions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
　　12.3.1 The Sobolev spaces W1,2(
　　) and W1,2
　　0 (
　　). . . . . . . . . 352
　　CONTENTS 11
　　12.3.2 Generalizing the domain and the coefficients. . . . . . . . 354
　　12.3.3 A Sobolev version of Rademacher’s theorem. . . . . . . . 355
　　12.4 Rayleigh-Ritz and its applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
　　12.4.1 The discrete spectrum and the essential spectrum. . . . . 357
　　12.4.2 Characterizing the discrete spectrum. . . . . . . . . . . . 357
　　12.4.3 Characterizing the essential spectrum . . . . . . . . . . . 358
　　12.4.4 Operators with empty essential spectrum. . . . . . . . . . 358
　　12.4.5 A characterization of compact operators. . . . . . . . . . 360
　　12.4.6 The variational method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
　　12.4.7 Variations on the variational formula. . . . . . . . . . . . 362
　　12.4.8 The secular equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
　　12.5 The Dirichlet problem for bounded domains. . . . . . . . . . . . 365
　　12.6 Valence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
　　12.6.1 Two dimensional examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
　　12.6.2 H¨uckel theory of hydrocarbons. . . . . . . . . . . . . . . . 368
　　12.7 Davies’s proof of the spectral theorem . . . . . . . . . . . . . . . 368
　　12.7.1 Symbols. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
　　12.7.2 Slowly decreasing functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
　　12.7.3 Stokes’ formula in the plane. . . . . . . . . . . . . . . . . 370
　　12.7.4 Almost holomorphic extensions. . . . . . . . . . . . . . . . 371
　　12.7.5 The Heffler-Sj¨ostrand formula. . . . . . . . . . . . . . . . 371
　　12.7.6 A formula for the resolvent. . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
　　12.7.7 The functional calculus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
　　12.7.8 Resolvent invariant subspaces. . . . . . . . . . . . . . . . 376
　　12.7.9 Cyclic subspaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
　　12.7.10 The spectral representation. . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
　　13 Scattering theory. 383
　　13.1 Examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
　　13.1.1 Translation - truncation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
　　13.1.2 Incoming representations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
　　13.1.3 Scattering residue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
　　13.2 Breit-Wigner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
　　13.3 The representation theorem for strongly contractive semi-groups. 388
　　13.4 The Sinai representation theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

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