浅谈高中数学应用问题的教学
 [摘要]： 在高中的数学教学中，培养和提高学生的数学应用意识，是中学数学教学的重要要求之一，高中数学新教材在每章编入了许多现实生活中的应用问题，应根据高中教学的形势，培养学生的应用意识和能力，培养社会主义接班人。
[关键词]： 应用，　数学，实际
 数学是研究空间形式和数量关系的科学。我们的数学能够处理科学中的数据和资料，进行推理、演绎，证明的数学模式。
 数学的特点：抽象性、逻辑严密性、应用的广泛性，尤其是它的应用。  
 我们高中教师在教学的过程中，要特别重视它的应用性，培养中学生的数学应用意识，使学生掌握提出、分析和解决生产、生活中的数学问题，准确而灵活地运用数学知识解决实际问题，是中学数学教育教学的重要要求。所以我们在高中的数学教学过程的应注重学生应用意识的培养，加强应用问题的教学，培养学生的应用意识和能力，提高教学质量，培养现代化建设的接班人。
一、数学新教材中的应用情况和问题
 在我们的高中数学教学中，原来的教材存在多方面的问题，其中最重要的一个就是重视学生的解题的训练，搞的是应试教育，把学生培养成只会解题不会动手创新的庸才。而对数学的应用不够重视，导致的教学效果是学生运用所学知识解决日常生活、生产中遇到的实际问题，学生运用数学的意识不够，解决实际问题的能力很差。缺少创新和应用能力，缺少动手能力等各方面的能力，新教材对此做了很大的改变，增加了许多具有实际生活的教学内容，重视数学知识的运用，增强数学应用意识，注重提高学生分析问题，解决问题，注重学生能力的培养。从下面几个方面可以体现：
 １ 、数学的各种题型中增加了应用问题的分量
　　为使学生及时巩固课堂所学知识，逐步提高分析问题、解决问题的能力，新教材在练习题，习题，复习题中增加了大量的应用问题，分别涉及增长率、经济、行程问题、物理、化学、地理、生物问题，储蓄等各个方面，量大面宽，情景新颖，融知识性，趣味性，自主实践性于一体。加大应用问题的容量，有利提高学生的兴趣，有利于提高学生应用能力的培养。 　
 ２、每一章的序言，都编排了一个现实中的应用问题，引入该章的知识内容，以突出知识的实际背景。引起学生的兴趣。如在第三章《数列》以趣味话题“广州到长沙有三条航道，长沙到上海有二条，那么广州到上海有几条航道呢？”的计算作为章头序言，激发学习欲望，增加教材内容的趣味性。 在教材的编排上，既用通俗易懂的语言，陈述问题，又附以插图增强直观形象性
 3 、例题中增加应用问题　　
 例题中改变了以往只安排单群的数学问题，安排了大量的数学应用问题，可以起到培养学生阅读能力、分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识，通过范例解答，使学生掌握解决应用问题的一般思想和方法。新教材的十章内容中共有 41 个例题是涉及数学应用的，占例题总数的 14.6% ，它们都非常接近学生的生活实际和所学知识，难易适中，示范性强。学生很容易与实际生活联系起来，加强学生应用问题的练习，能够使学生把数学知识与实际生活联系起来，培养应用方面的能力的培养。
 ４、阅读材料中涉及应用问题
 问题生动有趣，贴近学生生活，扩大学生阅读面的阅读材料，新教材中共安排了 10 个，其中：
 （ 1 ）历史故事方面的，如第一章的“对数和指数发展简史”，第五章中的“人们早期是怎么样测量地球的半径的？”
 （ 2 ）介绍数学应用方面，如第三章《组合和排列》等。
 （ 3 ）扩充知识方面，有第五章中的“向量的三种类型”等。
 ５、在研究“具体问题”时以实际例子引入课题
    高中数学的十章内容中，分别就概念引入、实例说明、列题、数学表示等方面都恰当的运用了实际问题。如用组合和排列中安排了飞机的航线问题，“不同重量信件的邮资问题”表示分段函数，用功和位移的关系引入向量数量积的概念等。实例引入增强了问题的实际背景，为顺利解决问题作了铺垫，训练学生的应用能力。

 6 、新增了“实习作业”和“研究性课题”。
 为了使学生亲自体验数学知识的应用，灵活运用数学知识解决实际问题，加强学生学习的自主活动性，培养综合运用知识的能力。新教材安排了三次实习作业，一是 “函数关系的应用举列”，让学生调查研究附近商店、工厂、学校潜在的函数问题；二是利用“平面向量”知识解决不能直接测量的距离、方向问题。三是“线性规划的实际应用”。
 研究性课题是培养学生应用意识和创新能力的重要内容，新教材分别在第三、五、七、九章中安排了四个研究性课题：“分期付款中的有关计算”、“向量在物理学中的应用”、“线性规划的实际应用”、“多面体欧拉定理的发现”，让学生动手操作，选择优化方案、归纳概括，恰当建模，运用理论指导实践。 　
 二、高中数学应用题问题的实践教学
 我们的高中学生年龄一般在 16 — 1 9周岁，他们认识问题的过程的各种心理成份虽已接近成人的水平，但智力活动带有明显的随意性，不成熟性，其抽象思维从“经验型”向“理论型”转化。能够逐步的摆脱具体形象和直接经验的限制，借助于概念进行合乎逻辑的逻辑抽象思维，能够在教师帮助下独立地事处理实材料，进行分析综合，抽象概括事物的本质属性，然后解决问题。因此，应根据学生的心理特点和思维规律，按照教育规则进行应用问题的教学。我的建议如下：
 1 、重视基本方法和基本解题思想的渗透与训练
 为培养学生的应用意识，提高学生分析问题解决问题的能力，高中教师教学中首先应结合具体问题，教给学生解答应用题的基本方法、步骤和建模过程，建模思想。
 教学应用题的常规思路是：将实际问题抽象、概括、转化 -- à 数学问题 à 解决数学问题 à 回答实际问题。具体可按以下程序进行：
 （ 1 ）审题：由于数学应用的广泛性及实际问题非数学情景的多样性，往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的问题，舍弃与数学无关的因素，抽象转化成数学问题，分清条件和结论，理顺数量关系。为此，引导学生从粗读到细研，冷静、慎密的阅读题目，明确问题中所含的量及相关量的数学关系。对学生生疏情景、名词、概念作必要的解释和提示，以帮助学生将实际问题数学化。
 （ 2 ）建模：明白题意后，再进一步引导学生分析题目中各量的特点，哪些是已知的，哪些是未知的。是否可用字母或字母的代数式表示，它们之间存在着怎样的联系？将文字语言转化成数学语言或图形语言，找到与此相联系的数学知识，建成数学模型。
 （ 3 ）求解数学问题，得出数学结论
 （ 4 ）还原：将得到的结论，据实际意义适当增删，还原为实际问题。
 例：从社会效益和经济效益出发，每地制定三年规划，投入资金进行生态环境的建设，并已此发展旅游产业。根据规划，第一年投入资金800万元，第二年度比第一年少1／3，第三年比第一年少1／2，第一年度当地旅游收入估计为400万元，要使三年的投入资金与旅游收入持平，求旅游游收入的年平均收入的年平均收入的增长率应是多少？
 这是一道人口增长率问题，教学时为帮助学生审题，我在指导学生阅读题时，提出以下要求：
——粗读，题目中涉及到哪些关键语句，哪些有用信息？解释“年自然增长率”的词义，指出：城市现有人口、年份、增长率，城市变化后的人口数等关键量。
——细想，问题中各量哪些是已知的，那些是未知的，存在怎样的关系？
——建模，启发学生分析这道题与学过的、见过的哪些问题有联系，它们是如何解决的？对此有何帮助？
 学生讨论后，从特殊的 1 年、 2 年…抽象归纳，寻找规律。
 2 、引导学生将应用问题进行归类
 为了增强学生的数学建模能力，在应用问题的教学中，及时结合所学知识，引导学生将应用问题归类使学生记忆中掌握熟悉的实际原型，发挥“定势思维”的积极作用，可顺利解决数学建模的困难，如将高中的应用题归为：①增长率（或减少率）问题②经济问题③工程的问题④排列组合问题⑤极值问题⑥概率问题等。这样，学生遇到应用问题时，就会针对应用问题，通过类比寻找记忆中与题目相类似的实际问题，利用数学联想，建立数学模型，方便原来的问题的解决。
 3 、对不同的数学内容采取不同教法
 高中新教材的数学应用问题遍及教材的各个章节，教学时针对不同的数学内容，有的，各有侧重，就会取得理想的效果，使学生很快的掌握数学内容。
 （ 1 ）章头序言，指导阅读，留下悬念
 对图文并茂的章头序言，由教师简单提出或由学生阅读，使学生稍作碰壁，留下解题悬念，增强解决问题的欲望。
 （ 2 ）重视例题的示范作用
 例题是连接理论知识，与问题之间的桥梁，示范性强。因此在讲解例题时应在分析题目各个量的特点关系，建模，解决数学问题、还原为实际问题诸环节都应很好的起示范作用，教师应重视例题的分析与讲解，积极进行启发式教学，培养学生分析问题，解决问题、寻求基本实际模型的能力，重视数学理论知识与实际应用的联系。
 （ 3 ）指导学生的练习，巩固数学解题方法
 充分运用课本的练习题、习题、复习题，达到练习的目的，让学生自己动手、动脑，应用所学的知识解决实际问题的能力。练习题位于具体的数学知识后面，建模方向性强，教师只需稍作指导，学生练习；而习题则更多利用教师批改作业的机会，主要纠正数学语言转化过程，及解题的规范过程；复习题由于综合性强，学生解决有困难，教师要给予必要的指导、提示 ，达到复习的作用。
 （ 4 ）课外阅读，扩张提高。
 对于不作教学要求的阅读材料，根据教学进度提出阅读要求，布置学生进行课外阅读，培养学生的阅读能力，扩大知识面，激发学生的学习兴趣。
 （ 5 ）实习作业，重视实际操作与合作交流。
 完成实习作业，可以打破单一沉寂的课堂教学氛围，激发学生的探索合作交流精神，培养学生的实践操作能力，进一步培养学生应用数学的意识和创新能力。但实际问题的因素是复杂多样的，这就要求学生在调查、分析、研究的基础上，抓住问题的本质，通过选择，结合课本中的数学知识，进行数学建模，解决实际问题。如第五章《解三角形》中的实习作业，对不能直接测量的两点的距离，教师选定符合要求的地点，组织学生实际测量，通过计算工具进行计算，学生兴趣很高，通过动手操作，实地测量，加深影响，激发了学生的探索精神，增强了学生的感性认识，培养了应用能力。
 （ 6 ）研究性课题，重视自主探究
 “研究性课题”是新教材中的一个专题性栏目，具有探究性和应用性的特点，它既是所学内容的实际综合应用，又对学生探究和解决问题具有较好的训练价值。
 § 3.6 的“研究性课题”，一个有关分期付款的问题，因为很多人一次性地支付售价较高的商品款额有一定困难，另一方面不少商家也不断改进营销策略，方便顾客购物和付款，它与每个家庭的日常生活密切相关，在今天的商业活动中应用日益广泛。对它的探究将会引起学生极大的兴趣，教学这一课题时，应突出以学生探究为主，教师点拔、介绍为辅，教师不断提出问题，介绍情况、启发诱导。鼓励学生研究和探索。
 第一步，让学生阅读教材 P 134 的方案表，明确每个付款方案的次数、方式。
 第二步，引导学生探究第二种方案，即分 6 次付清，购买后第 2 个月第一次付款，再过 2 个月第 2 次付款，…购买后 12 个月第 6 次付款，月利率为 0.89 ％，每月利息按复数计算。
 首先，学生根据要求试做，不少学生得出每期付款 元，也有学生得出每期付款 元。这时教师不必指出对错，进一步分析、调整学生思维，这两种方式对谁有利？学生计算后，自然得出前者对顾客有利，商家吃亏，而后者对商家有利，顾客吃亏，都不符合买卖公平的原则。
最后，引导深化——研究不同方案及一般结论，让学生计算方案 1 、 3 ，教师巡视指导
　　（７）引入实际问题，激发学生的兴趣。　　　　　　　 　　　　　　　　　　　
 学习兴趣是学生学习主动性的体现, 也是学生学习活动的动力源泉. 古往今来, 很多教育家都非常重视对学生学习兴趣的培养、引导和利用. 孔子曰: “知之者, 不如好之者.”说明“好学”对教育的重要性. 作为教师要做到以“趣”引路, 以“情”导航.在教学活动中, 教师的讲授和学生的学习总是或多或少地带有一些感情色彩, 即教育情感性. 任何学生对教师的第一节课都会产生期待心情, 这种期待主要表现为: 对教师外表形象的期待; 对教师言谈举止的期待; 对教师课堂教学的期待. 在教学实践中, 我们发现有许多学生对于自己喜爱的实际生活，感兴趣的教学内容,引人入胜的教学方法等都会表现出极大的投入, 其学习思维就会与教师的教学保持着和谐、完美的统一. 学生通过与实际生活联系，学会了运用知识解决问题, 并从中体验到成功的乐趣, 从而产生了进一步学习的愿望. 作为初中数学教师应该认真研究学生的这种心理倾向, 并通过这种途径培养学生的求知欲望, 引导学生形成良好的实际意识倾向, 要充分相信每一名学生的潜能, 鼓励每一名学生，培养学生的应用能力。
 三、针对高中数学应用问题的教学建议和看法
 １、 改革教学方式, 发挥学生的主体作用，加强应用能力的培养。
 长期以来, 许多学校的课堂教学都存在一个严重问题, 即只注重教师与学生之间的“教”与“学”, 而忽视了学生与学生之间的交流和学习, 从而导致学生自主学习空间萎缩.，只会解单纯的纯数学问题，对于生活中的实际应用问题不知所措。教学中, 在教师的主导下, 坚持学生是探究的主体, 引导学生对实际生活中的知识发生、形成、发展的全过程进行探究活动. 让学生学会发现、提出应用问题, 并逐步培养他们分析、解决应用问题的能力. 从而激起他们强烈的求知欲和创造欲. 让学生从思想上产生由“要我学”到“我要学”的转变, 真正实现主动参与应用问题，并能运用所学知识于实际生活中去。
 2 、学会运用数学语言描述周围世界中出现的数学现象
 数学语言可以清楚、简洁、准确地描述日常生活中的许多现象，让学生养成乐意运用数学语言进行交流的习惯，既可以增强学生应用数学的意识，也可以提高学生运用数学的能力。在教学中，需帮助学生形成一个开阔的视野，了解数学对于人类发展的应用价值。在知识实践，能力培养的基础上，教师应主动地向学生展示现实生活中的数学信息和数学的广泛应用，向学生提供3 、关于应用问题中的算法问题
 新教材要求用科学计算器，处理、计算数值，在例题、习题中给出的数据都比较复杂，我认为高中数学应用题的重点是数学建模，所以正确建模，明白算法、算理应占主流，一味追求“实际”，多次出现一些复杂数据，会冲淡主要问题的解决。
 事实上，每节中只要有一两道实际数据的题目，其他的可选择特殊数据或干脆用字母表示，不仅可突出算理，而且会加强应用问题的分析，节省时间，体现字母代数的优越性。　
 ３ 、在数学应用问题的教学和对学生学习的指导中，应重视介绍数学知识的来龙去脉。
 一般情况下，数学知识的产生不外乎实际的需要和数学内部的需要，高中阶段所学的知识大都是来源于实际生活，许多的数学知识都有具体直接的应用，如高二运用不等式的性质计算最值，线性规划，高三的概率统计等。应该让学生充分实践和体验这些知识是如何使用的，在此基础上让学生感受和体验数学的应用价值。
、加强数学知识和实际生活的联系。
 在高中教学中，我们应安排了大量的数学应用问题，可以起到培养学生阅读能力、分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识，通过范例解答，使学生掌握解决应用问题的一般思想和方法。同时，我们还应该将所学的数学知识应用到实际生活中去，达到学已至用的目的。这样能够使学生把数学知识与实际生活联系起来，培养应用方面的能力的培养。也达到了培养社会主义接班人的目的，使我们的社会主义建设事业越来越美好！（谢谢！）

 参考书目：
 1 、全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）数学 第一册［ M ］．北京：人民教育出版社． 2000 年 全册
2 、王尚志．培养学生的应用意识是数学课程的重要目标［ J ］．数学教育学报． 2002 ，第二期 

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