蔡卫文数学难点突破后的启示
 有关图形运动变化的问题在各地的中考中屡屡出现，它一方面能够考查学生多种基础知识的掌握情况，又能考查学生综合解决问题的能力以及检验学生数学能力的形成情况，因此在中考复习中既是重点又是难点。虽然教师和学生都明确这一点，为此也做了大量的训练，但实际效果却不是很好，每当学生遇到这样的问题总会有相当一部分学生感觉把握不住，自信心不强，题还没开始做就产生了畏惧心理，为了解决这一问题，我用了三天时间组织学生在一个问题的基础上用变式探究的方式，引导学生通过独立探索、合作解疑、反思归纳、自主变换、多次实践等过程使学生经历探索研究直到解决问题的全过程，并在合作的基础上自编图形变换的问题（实际中有些小组是查找资料得到），使学生克服紧张心理熟悉这类问题的常规处理方式。这种方式收到了一定的效果，不仅使大多数同学突破了这一难点，而且很多学生从探究的方法过程中提高了研究能力，也使我对专题复习有了一种全新的认识。
一、问题产生
 在复习考试中出现了这样一个题目：
如图：有一边长为5厘米的正方形ABCD和等腰三角形PQR，PQ=PR=5厘米，QR=8厘米，点B、C、Q、R在同一直线L上，当C、Q两点重合时，等腰三角形PQR以1厘米/秒的速度沿直线L按箭头所示方向匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为S平方厘米。
 ⑴当t=3秒时，求S的值；
 ⑵当t=5秒时，求S的值；
 ⑶当5秒≤t≤8秒时，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值。
 这个题目是在济南中考中出现的，考查的知识点主要是相似及几种几何基本图形面积的运算，更加强调的是学生的能力，要求学生在动态的图形中准确的把握图形的变化。在批改学生试卷前，我还是比较乐观的，认为大多数学生能够处理好这个问题，但是结果却是让我大吃一惊，能完整解决问题的同学只有10%的同学，很多同学在第二个问题就感觉很头痛了，把握不住图形的变化特征，计算盲目没有针对性，这不得不让我重新审视自己的学生，思考问题出在哪里？该怎样引导学生合理处理类似问题？经过分析，学生解题中出现了这么几个问题：1、审题的细致程度不够，对阴影部分的形状不能准确到位。2、部分学生存在心理阴影还没开始作就有了畏惧心理，以致不能静下心来研究图形的变化。3、对动态的S与t的关系把握不住，不能很好的将动的时间与线段长度沟通。考虑到以上几种情况，我认为有必要对学生就此问题进行专题训练，一方面解决学生的心理问题，一方面培养学生探索研究的能力。为此我决定在详细讲解这道题后，引导学生进行变式探索，突破难点。
二、独立探索
 在上一个题讲解后我给学生布置了一个变式探索题:
 变式1。如图Rt△PMN中∠P=90°，PM=PN，MN=8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上，令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动（如图一），直到C点与N点重合为止，设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN的重叠部分的面积为y cm2，求y与x之间的函数关系式。（河南中考题）
 [独立探索要求]认真仔细审清题意，体会在矩形移动的过程中，阴影部分的图形将会怎样变化？共会出现几种图形？分清在哪些时间段内图形是一致的，此时面积怎样求？对有困难的学生希望做出实际模型，通过“做”数学发现图形的变化过程，遇到困难及时记录，在第二天的小组探索中提出问题，寻求帮助，能够很好独立解决问题的同学在做完后希望能对图形进行变化，思考各种图形在动态的变化中的重叠部分的面积的计算方法在后面的探索中与同学交流。
 由于这个变式同上一个题目难度相当，应该有相当一部分同学在充分的时间内能够熟悉问题的环境，最终解决问题，毕竟这是学生跳一跳摸得到的，最主要的目的是让学生亲身经历、体会问题的探究过程，体会成功的喜悦，同时也对成绩较好的同学确立了新的目标“独立的向新的高度探索”我相信他们也会从中感受到更多的乐趣。
三、合作解疑
 在第二次课上我首先给四人小组十分钟时间，要求相互介绍自己的探究过程、遇到的困惑、得到的结论，交流解决出现的问题，讨论分析争议的问题，得出一致的结论，若遇到争执不下的结论招请老师。
 合作学习开始前还在担心学生会没有话说，只是听几个成绩好的同学说，但才一开始我就感觉到了火药味，平时不太说话的人也争着说自己的观察分析得到的结论，遇到不同意见更是争得面红耳赤，为了说明自己的正确性，有人拿出了自己做的精致的模型，边移动边和别人谈自己的观察结果，还真遇到几个平时学得不错的人在别人的“证据”面前低下了“高贵的头颅”，直在后悔自己怎么没有考虑的更细致一些。
 看着他们的“热闹场面”我心里也有很多感叹：前两天还在这种题面前不知所措的人，现在敢于和别人争长短，他的信心来自于哪里？不就是自己亲身走进了问题的环境中，对问题有了全面的了解吗，看来我们平时感觉学生解决一些问题能力不行，是我们老师没有很好的引导学生亲历问题情景，他们对问题的认识还仅仅是个表面，我想他们会有“有力无处使”的感觉吧，因此要有效的提高学生分析问题、解决问题的能力，还需教师多为他们创造经历问题产生，发展变化的过程，让他们用自己的感受去体验数学、用自己的手去“做”数学。
 经过小组的合作探究，各小组都拿出了这个问题阴影部分的变化图，并统一了在分点上的一些争议，得出了准确的答案。我在肯定了同学们的探索成果后，请同学们反思1。为什么对这个题目的解答大多数同学“有话可说”？2。你在这个问题的解决中获取了什么经验？
四、自主变换
 在学生反思后我又提出了这节课的第二个合作研究内容：将上面两个图形做变换，换成你学过的各种图形，再去观察重叠部分的变化及面积的计算方法。
 在成功的后面就是积极性，学生的积极性一但被调动，其能量是我们无法估算的，很快各组就拿出了很多变化的图形，当然中间也有一些是初中阶段计算的可操作性不强的，在他们根据自己的喜好研究自己喜欢的图形后，我从中选择了下面两组图作为他们的探究课题：
 
 如图二：△ABC为等腰直角三角形，斜边长为8cm，矩形短边为2cm长边为6cm，矩形移动速度每秒1cm，在矩形按规定方向移动的过程中重叠部分面积S与时间t的函数关系？
 如图三：半圆O的直径是DE=12cm，
Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm，半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，运动时间为t（s）
⑴当t为何值时，△ABC的一边所在直线
 与半圆O所在的直线相切？
 ⑵当△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直线DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积？
 这两个探究题图形来自于学生，学生会更感兴趣，教师提出的问题与一些省市的中考相近，对中考前的复习有积极作用。第一个问题与学生已经研究的两个图形很接近，只是难度又有一定的提高，有利于学生思维的巩固和提高，第二个问题又有了一定的变化，有一定的难度，学生容易漏掉一种情况，这对培养学生的思维的完整性很有帮助。
 从事后学生的反馈情况来看，第一个问题大多数同学的结果是完整的，收到了较好的效果，第二个问题出的问题较多，漏掉一种相切情况的人占绝大多数，还有一部分同学找不到要求哪个部分的面积，这是我开始没有想到的，但总体来说，学生在亲身经历了几个动态图形的变化过程后，对这类问题有了一定的自信，在研究能力上也有了一定提高。
   从这一次难点突破的过程我深切的体会到，当学生遇到困难时，仅仅依靠教师讲，学生练的多次反复收到的效果是微乎其微的，只有想办法引导学生，深入到问题的本质，理顺问题的条理，熟悉问题的环境，对问题进行合理的剖析，充分演变，以旧问题的解决激活新问题的诞生，透过问题的表象看清问题的实质，作深层次的思考，才能达到举一反三的效果，真正地解决困难并促进思维的发展。在这里最为重要的是要真正让学生经历问题的解决过程，而不是让他们作为一个被动的接受者，使学生真正成为课堂教学的主体。

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