让业余成为数学学习的一种新方式

 丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念.传统教学中，课外过多的作业和形式单一的练习占了学生大部分的时间，使学生感到厌烦，失去学习数学的兴趣.让课余时间成为数学学习方式的试验田，让师生共同探求更多的学习方式，使我们的教与学更加丰富充实.本人结合教学实践，在学生的作业中改变创设了一个开放性的问题情境，让学生围绕这个数学问题，自主探索，合作交流.初步尝试数学研究的过程，体验创造的激情.
 一、情境营造
 引例：如图过抛物线焦点的一条直线与它交于
两点，经过点和抛物线顶点的直线与准线交
于点.求证：直线平行于抛物线的对称轴.                                 
（课本第二册(上)习题第题）                                             图1
 让学生以此题为背景，提出不同的命题，并试证明.经过学生课外不断的探索，几乎每一天都有新的命题出现，有的已证明，有的没有证明，还有的甚至是错误的命题.我把学生的最新“命题”都贴在墙上，让学生去观看，从中启发灵感，进行再创造.
 二、问题提出
 问题自己提出，自己解决，对学生是一个很大的挑战，但学生们的学习积极性很高，晚自修前就有学生从逆命题角度出发提出问题并证明.
 问题1    若轴，三点共线，则有三点共线.
 问题2    若轴，三点共线，则有三点共线.
 学生简证如下：
 如图1，设抛物线方程为，焦点.
 直线方程为，  
 设
 （1），，而所以
 由，得，所以
 所以，即三点共线..
 （2），     ，
三点共线，，即，，
.
 因为问题是学生自己提出的，所以学生主动探究的兴趣很浓，问题解决过程中出现了很多奇思妙想.如问题1中有学生直接连接，利用初中平面几何知识证明了为与轴的交点（证略）.其他同学看了很受启发，不久就有一位同学提出下面的问题：
 问题3    若过抛物线焦点的弦，过作轴交准线于点，与轴交于点，则平分线段.（图1）
 三、问题拓展
 第二天墙上出现了这样的一个命题：
 问题4    设椭圆左焦弦，若过作轴，
连直线与直线交于点，则点在准线上. （图2 ）                         图2
 显然这位同学用类比的探索方法，提出上面的问题，同学们看了觉得很新奇，但很快有同学提出质疑，若垂直轴，交轴于点，易证，这显然不可能恒成立.这位同学的命题虽然错了，但我肯定了这位学生敢于创新的精神.他的创新思维激发了其他学生的灵感，墙上出现了许多命题，摘录如下：
 问题5    若过椭圆左焦点的弦，过作轴交左准线于点，与轴交于点，则连接的直线平分线段.（图3）
 问题6    若过双曲线右焦点的弦，过作轴交右准线于点，与轴交于点，则连接的直线平分线段.（图4）
 
 
 
 
 
 
              图3                                  图4
 学生简证如下：
 问题5 过作垂直交于点，交轴于点，由椭圆第二定理知：，①
 轴，则       ②
 轴，则       ③
 由①②③知，即为的中点.
 同理可证问题6.
 学生的学习激情点燃了，学生们不满足于现状，继续努力探索新命题.我建议学生多去图书馆查阅一些资料，增加自己的见识.学生学习激情很高，更自愿去图书馆查阅资料.几天后，又有新命题出现在墙上.
 问题7    设椭圆左焦弦，若连接的直线交于点，则点在左准线上.（如图5）
 
 问题8    设双曲线右焦弦PQ，若连接AQ于BP交于点M，则点M在右准线上.（如图6）
 
 
 
 
                
             图5                                      图6
 命题者验证了轴时，命题成立.当与轴不垂直时，还没证明，共邀班内其他学生共同探讨.学生们的奇思妙想令我折服，我肯定了此命题是正确的，并在课堂内提了一些证明建议.此时班中学生们情绪激昂，跃跃一试，都渴望着自己能最先解决这一难题.终于有学生证明了这一命题.
 设椭圆方程，
 
 直线的方程为，直线的方程为
 令，得直线的方程为
 令，得
 只要证，即
 而直线方程为，只要证：
 
 由，
 得，
 所以成立，即点在准线上.
 双曲线类似证明（略）.
 四、问题演变
 学生们的探究热情越来越高涨，各种各样的命题几乎每天都有，有一个问题最让学生们激动不已，问题7中弦绕着焦点旋转时，与的交点所成的轨迹是准线，受此启发，有位学生提了这样一个问题.
问题9    若垂直轴，当沿着轴平移后（椭圆内），与的交点的轨迹是什么呢？双曲线呢？（图7、8）
 经学生们的努力探究后，终于在墙上出现了令人惊奇的结果.图7中点的轨迹是双曲线，而图8中点的轨迹恰是椭圆.这位同学的探究成果令全班同学都沉浸在数学的美妙之中，让学生真正悟到只有不断地深入探究，才能真正的体会到数学的内在魅力.
 学生简证如下：
    设椭圆方程为，设
 直线方程：①
  直线方程：②
 由①②可得：③
 又④代入③，得
 化简得：
 同理可证图8的轨迹为椭圆
 提出问题与解决问题相互作用，相互促进，极大的激发了学生的学习积极性与主动性，几乎所有的学生都不知不觉地参与了整个探究过程，都能站在各自的角度提出不同的问题来.学生间相互讨论，合作进取，同时又相互竞争.这次课外数学学习方式的探究活动，充分发挥了学生的想象力和创造力，充分发挥了学生的学习潜能，让学生树立了战胜困难的勇气和信心，体现锲而不舍的精神，也为以后的数学学习方式开辟了一条新路.

相关论文