空间轨迹问题的探求方法.

 伴随新课程的不断深入，近几年高考试题，设置了一些开放题，具有新颖性、综合性.在知识网络交汇处设计试题是当今高考命题的一个方向，空间轨迹问题正是在这种背景下“闪亮登场”.这类题目已突破传统的筐筐，涵盖的知识点多，较抽象，学生求解起来颇感困难，得分率偏低，令人惋惜.本文通过几道典型例题的分析，寻求空间轨迹问题的探求方法.
1  分析动点满足的几何性质；通过设轨迹上任意一点，根据条件求出动点的某些特征，再类比已学过的曲线的定义和性质，来寻求突破.
1.1  利用线面垂直关系
 【例1】 正方体中，点P在侧面及其边界上运动，在运动过程中，保持AP，则动点P的轨迹是（ A  ）     
A.线段       
B.线段
C.中点与中点连成的线段
D.中点与中点连成的线段
 解：联想到线面垂直，转化为求AP运动所形成的面与垂直，易证，故选A.
1.2  联想圆的定义
   【例2】如图所在的平面和四边形所在的平面垂直，且， ， ，，，则点在平面内的轨迹是（  A ）
 A．圆的一部分        
 B．椭圆的一部分
 C．双曲线的一部分    
 D．抛物线的一部分，
 
有在平面PAB内，以AB所在直线为X轴，AB的中点为坐标原点，设P（x,y）则，化简得，注意到点P不在直线AB上，故除掉 选A.
 练习：已知正方体的棱长为1，在正方体
的表面上与点A距离为的点的集合形成一条曲线，则该
曲线的长度为（ B ）
    A.       B.    C.     D.
    解：当点P在上底面时，连AP、A1P，
在直角APA1中，求得PA1=，即弧P1P2的长.同理左侧面的弧P5P6、后侧面的弧P3P4的长也为；当点P在前侧面时，弧P1P6的半径为，因为直角A1P1A中，直角边A1P1的长为斜边P1A的一半，所以弧P1P6的圆心角为，从而弧P1P6的长为.同理右侧面的弧P2P3的长与下底面的弧P4P3的长的长也为.故曲线的总长度为，故选B.
1.3  联想到抛物线的定义
 【例3】  已知正方体的棱长为1，点M在棱
AB上，且AM=，点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线
的距离的平方与点P到点M的距离的平方之差为1，则P点的
轨迹为（A）
    A.抛物线弧      B.双曲线弧     C.线段       D.以上都不对
 解法一：过P作PF垂直AD于F，则PF垂直平面ADD1A1，过点F作FE垂直A1D1于E，连PE，则PE为点P到直线A1D1的距离，由已知，即，得， PF=PM，故P点的轨迹是以M为焦点，以AD为准线的抛物线，故选A.
   解法二：以AB，AD所在直线为X轴Y轴建立直角坐标系，设P（x ,y）为轨迹上任意点，可得P到A1D1的距离平方为1+，=，所以1+--=1，整理得，故选A.
 练习：在正方体的侧面ABB1A1内
有一点P到直线AB与到直线B1C1的距离相等，则动点P所
在曲线的形状为（ C）
    A.直线        B.双曲线
    C.抛物线      D.圆
 解：因为B1C1垂直于平面ABB1A1，所以PB1为点P到直线B1C1的距离，于是问题转化为在平面ABB1A1内，点P到定点B1的距离与点P到定直线AB的距离相等.故根据抛物线的定义可知选答案C.   
1.4  联想到球面的定义
 【例4】 如图，已知正方形的棱长为2，长为2的线段的一个端点在棱上运动，点N在正方形内运动，则中点的轨迹的面积是（ ）
A.  B.  C.   D.
 解：充分利用MN的长度不变，是直角三角形，P点为斜边的中点，.故点的轨迹是以为圆心，1为半径的球面位于正方体内的部分，因为要算具体面积，就必须求出几何体是球的哪些部分.分析可得，点P和棱、、均交于各自的中点，即三条半径两两垂直，该部分球面与正方体围成的几何体是球的八分之一，故选D.
2  利用向量工具；按立体几何的传统方法几乎无从下手时，恰当的运用向量，有踏破铁鞋无觅处，得来全不费工夫之感.
   【例5】一定长线段AB的两个端点A、B沿互相垂直的两条异面直线、运动，求它的中点的轨迹.
 解：设MN为、的公垂线段，则MN与、两两垂直.如图，以N点为原点，直线为轴，直线NM为轴，以过点N所作直线的平行线为轴，建立空间直角坐标系.
  设，，，则， P点坐标为，其中横坐标和纵坐标为变量，竖坐标为常量.
P点必在MN的垂直平分面上,取MN的中点O，则

，所以P点在以O为圆心，
为半径的圆上.故P点的轨迹是MN的垂直平分面内的一个圆.
3  利用特殊点定位；把问题的形式向特殊化形式转化，得出结论，并证明特殊化后的结论适合一般情况.
 【例6】  如图所示，在三棱锥A-BCD中，P为CD的中点，动点
M在ABD内部及边界上运动，且总保持PM∥平面ABC,求动点
M的轨迹.
 解：先分析特殊位置；当点M在BD边上时，由PM∥平面ABC
可得PM∥BC，此时点M是BD边的中点Q，当动点M在AD边上时，
同理可得PM∥AC，此时点M是AD边的中点R.于是猜想动点M的轨迹为中位线RQ.实际上此题就转化为证明面，故命题得证.
 探求空间轨迹问题，要善于把立体几何问题转化到平面上，再联合运用平面几何、立体几何、空间向量、解析几何等知识去求解，实现立体几何到解析几何的过渡.以上是笔者在教学中，处理此类问题的几种方法，愿与各位共同探讨.

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