高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力

新课标指出：高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力.人们在学习数学知识和运用数学知识解决问题时，要不断地经历直观感知、归纳类比、空间想象、反思与建构等思维过程.显然，反思思维与数学教学是紧密联系的.一方面，数学教学旨在培养学生的思维能力，增强学生全面素质，促进学生反思思维意识的养成；另一方面，只有加强学生反思思维的训练，才能优化学生的数学思维品质，提高学生的思维能力，进而培养学生数学创新能力.
 
反思思维定势，巧设陷阱，加深对数学概念、定理、公式的质的理解
 学生的错误不能单纯依靠正面的示范和反复的练习得以纠正，而必须是一个“自我否定”的过程，即以自我反思为前提条件.因此在平时的教学中，教师要善于创设陷阱，让学生尝试错误，引导其反思，自我发现思维中存在的矛盾.
已知函数当为何值时,
对恒成立?
解:当且仅当且时,对
 恒成立.
反思：解题开始就先入为主，认为是二次函数.忽略了对时为一次函数的情况.

 例2. 在一段直的河岸同侧有A、B两个村庄，相距5 km,它们距河岸的距离分别为3km和6km,现在要在河边修一个抽水站
并铺设输水管道向两村庄供水.如果预计修建抽水站
需8.25万，铺设输水管道每米24.5元,现由镇政府
拨款30万元.问A、B两村至少还需自筹资金多少元
才能完成此项工程(精确到到百元)?
解: 分别过A、B向河岸所在的直线作垂线,垂足为
O,D,以O为坐标原点,OD所在直线为X轴建立直角
坐标系(如图).
由条件:
作点关于轴对称点.连结交轴于点.由平面几何知识,当抽水站在点处时,铺设的输水管道最短.

铺设管道所需资金为元
总费用元
故A、B两村至少还需要筹23900元.
反思：显然这一解法它受到一个常见的平面几何题目的影响: A、B两点位于直线的同侧,在上求一点P,使得最小.
    这两个问题似乎很相似,但它们却有很大差异.
    对于本例中,要使得铺设管道最短,有3种方案可供选择.
方案1:由抽水站分别向A、B两村铺设管道,上述解法中的C点即为所求.
方案2:由抽水站铺设管道至A村,再由A村铺设管道至B村.显然这一方案中抽水站应建在O点,此时管道总长为.
方案3:由抽水站铺设管道至B村,再由B村铺设管道至A村.此方案中,管道总长为
 显然方案2最佳,应将抽水站建在O点,并接路线铺设管道.
总费用为：
A，B两村不仅不需自筹资金，还可以从拨款中结余资金21500元.

 例3.求过两曲线交点的直线方程.
解: 联立方程组  得
将代入原方程组,解出交点坐标，然后用两点式求出直线方程(即为).
反思:这个解题过程显然受求直线方程方法的思维定势影响，而没有注意到两曲线是圆.两圆相交于两点,两点就确定了一条直线，注意到就是两圆两交点应满足的方程，又是二元一次方程，所以它即为所求直线方程，以下过程为多余.

二、反思思维过程,确定解题关键,寻找解题的最佳方案
 在学生把问题解答之后,要求他们回顾解题过程，概括解题的关键.通过学生的分析、讨论和总结，让解题思路显得自然、有条理，这样才能发现思维过程中的不足，完善思维过程，培养思维的严谨性、创造性和灵活性.
 高中数学第二册（上）第22页例4：
教学中，证完该题后，要求学生对其进行变式研究（留给学生足够的时间），然后请同学展示研究成果.
小组1：若
小组2：若
略加启发：题中的字母可具有丰富的内涵.
小组3：若
小组4：若
学生通过改变原题的条件和结论，对原题外在形式表达进行了改变，这使得对问题的本质认识得更透彻.

三、反思思维策略，引导总结回顾，掌握数学基本思想方法
 学生在解题是往往满足于做出题目，而对自己的思维策略却从来不加以评价.作业中经常出现解题过程单一、思路狭窄，方法不当，逻辑混乱，叙述冗长等不足，这是学生思维过程缺乏灵活性，因此，教师必须引导学生评价自己的思维策略.通过对知识的总结回顾，开阔学生的视野.
 例5．已知
    
 法二：
  
     
 法三：
     
 法四：
     
 例6．对于正整数,证明
 直觉告诉我们可以用数学归纳法来证明，那么完成证明之后可以反思什么呢？
反思一:由于数学归纳法只证明了题中是等式是成立的，而并没有指出我们是如何得到这个等式的，换言之，我们能否直接计算呢？
反思二:这个等式能否加以推广?
 如等于什么呢?
 如果注意到用数学归纳法证明本题的过程中会得到
那么就有,
受此启发,可以用拆项法直接证明本题.
证明：在中分别取
并相加,得

显然，这个证明比用数学归纳法证明更为简捷，而且若利用该证明中使用的拆项方法，我们有.
由此可得本题的一个推广等式:

用类似的方法,本题可推广到更为一般的情形:

反思三:需要指出,本题还有其他不同证法.
例如: 由于,所以
又如: 因为,而利用组合数性质,可得,
所以
    比较这些不同的证法,容易看出拆项法是一种比较简捷的方法,而且利用拆项法可以轻而易举地将命题推广到一般情形.
 综上所述，在数学教学中，教师要善于引导学生反思以下问题：
⑴本题主要考察哪些知识点？
⑵本题的条件充分吗？若去掉会怎样？
⑶如何对本题的条件或结论进行变形后得到正确命题？
⑷是否可推广到一般情形？
⑸还有无别的解法？
⑹运用了哪些数学方法？
   通过提问引导，给学生思维空间，教师在数学教学中应注意培养学生反思思维习惯，提高学生参与意识，促使学生积极地参与反思学习的实践.

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