初中生数学“批判性思维”的培养探究
摘 要：文章主要讨论有关数学批判性思维的问题。“批判性思维”的特征在于有能力评价解题思路选择是否正确，以及对这种思路可能导致的结果加以判断。通过对初中生数学学习中批判性思维能力的调查，获得大量的相关数据，由此发现当今初中生在数学学习中存在的一些问题，并就如何提高初中生数学批判性思维，提出一系列的措施与方法。该研究能促进新课程下课堂的教学改革，有利于加强教师自身知识结构的调整和教学观念的更新，有利于提高学生的数学学习能力。
关键词：数学批判性思维  调查  问题  措施和方法
一、引言
1、数学批判性思维简述：
 数学思维的批判性是指思维能动地对资料、信息及自我思维过程的正确性、真理性进行严密审查和剔除谬误的一种品质，对中学生主要表现在：对已有的数学表述能提出自己的看法，不盲从附和；能严密地全面地利用已知条件，在关键之处能及时、迅速地自我反馈；有能力评价解题思路是否正确。
2、国内外的研究情况：
 近年来，西方教育界日益重视起批判性思维来，批判性思维被看作是学习的一个不可分割的成分，可与问题解决并列为思维的两大基本技能，因此增强学生的批判性思维也成了学校教育的关键目标之一。
 “批判性思维”这个词在我国的数学教育中出现的频率也越来越高，成了数学教育研究的热点之一。在我国的高考中也注意了“加强对思维品质的考查”。无疑，对学生思维的灵活性、批判性、创新性等思维品质的考查是命题人员的新的探索与追求。
 在此基础上，本人认为“纠错能力”的培养是“批判性思维”培养的一大难点。为此，本文主要围绕“如何提高初中生批判性思维”这个问题展开讨论。
二、正文
 为了了解如今初中生批判性思维的发展情况，总结出切实可行的措施，本人进行了一次关于“初中生的批判性思维能力”调查，具体情况如下：
1、调查的实施过程
 1）问卷：因最后一题有比较之用，故分为AB两卷。（见附录一、二）
 问卷是在调查对象所在班级的数学任课老师的指导下确定的。
 2）被试：余姚市阳明中学初二（3）（4）（5）班部分学生  
 3）调查时间：2006年3月29日中午11：40—12：30
 4）其中：3班41人，做A卷；4班24人，做B卷；5班（男教师）6人A卷，20人B卷。
 5）注：调查问卷发放100份，为不影响被试者的正常的学习，故安排在午休时间进行调查。学校有大部分学生是在校午餐的，故比较方便。此外因为那天下着大雨，故有些回家吃午饭的学生并未及时赶到，故使得本次调查最终收到的有效问卷总数为91份（其中A卷47份，B卷44份）。另外，在有一部分（28.6%）被试者的数学任课教师是一男性，其余（71.4%）均为一女性教师任教。
2、调查结果
调查数据如下：
表一：总表（总人数：91人，其中：A卷47人，B卷44人）
题号 正确
人数  正确率 错误
人数 错误率 空题
人数  空题率
1 56 61.5% 33 36.3% 2 2.2%
2 60 65.9% 31 34.1% 0 0%
3 47 51.6% 29 31.9% 15 16.5%
4（1） 68 74.7% 20 22.0% 3 3.3%
4（2） 9 9.9% 79 86.8% 3 3.3%
5 60 65.9% 29 31.9% 2 2.2%
6 27 29.7% 51 56.0% 13 14.3%
7 77 84.6% 10 11.0% 4 4.4%
8 25 27.5% 61 67.0% 5 5.5%
9 14 15.4% 71 78.0% 6 6.6%
10 46 50.5% 33 36.3% 12 13.2%
11（A） 27 57.4% 7 14.9% 13 27.7%
11（B） 32 72.7% 8 18.2% 4 9.1%
注1：“空题”是指学生空在那里没做，或写明“不会做”的题目。
注2：第1、2、4（1）、7、9、11（A）题为正确题,其中2、7、9、11（A）具有调查比较意义，第3、4（2）、5、6、8、10、11（B）题本身题目就存在问题。
3、从表中可以发现以下几个问题：
 1）学生还是能发现试卷中多多少少存在这些问题，不过因无法答题，却又不能自信的说出心中疑惑，故只能把题目空在那里。
 2）从AB两份卷比较看来，学生对多余条件的使用并不多，他们还是能收集出有效信息，可见多余的条件对学生的诱导性不是太大，不过对于基础较差的学生会有一些影响，甚至有点误导作用，由于条件增多，使得题目看上去变得复杂很多，他们看到题目比较复杂，潜意识里就认为题目很难，就直接空在那里或回答不会做。
 3）对于A卷最后一题，部分学生还认为条件不够，可能是受上一题（T10）的影响。因为（T10）是条件不足，当学生知道有这种情况存在时，就产生思维定势，就断定这题做不出来也是因为条件不足所致。
 4）对于存在多个答案的题目，学生的情况是这样的：
表二：
题号 做错的总数 错的当中，只写出一个答案的
2 31 12（38.7%）
8 61 57（93.4%）他们的答案为3
9 71 56（78.9%）
 由此可见，学生考虑题目缺乏全面性。
 像第八题，做错的学生中，有93.4%的答案都是3。
 像第九题，学生得到的答案几乎都只有6、7，而忽略了“整数 = 正整数 + 负整数 + 0”，因而就把-6、-7给搞丢了。
 5）对于审题，很多学生很不认真：
 还是拿第二题来说：
表三：
题号 做错的总数 因为粗心错的
2 31 19（61.3%）
 他们把就直接看成4了。而导致最后答案出来是
 6）对于思维的发散性，本人发现现在学生的发散性思维还是比较好的，拿第七题来说，本人当时就没想到其他方法，就是受思维定势的影响，得出22这个结果，在问卷的批改中，本人发现了好几个都有说服力的答案，学生的理由都很充分，可见学生的思维并没受到太多局限，说明新教材对学生思维培养中发挥了一定的作用。
 7）从第三、六题可以看出，学生对于条件冲突的问题不能很好的给以判断，直接就给予的条件给出表面条件应得到的答案。
 8）此次调查的一个意外发现就是，男性数学教师所教的学生的思维能力较女性数学教师所教的学生要好一些。具体数据见下表：
表四：男性教师班级(总人数：26人，其中：A卷6人，B卷20人)
题号 正确
人数 正确率 错误
人数 错误率 空题
人数 空题率
1 22 84.6% 4 15.4% 0 0%
2 15 57.7% 11 42.3% 0 0%
3 13 50% 6 23.1% 7 26.9%
4（1） 22 84.6% 3 11.5% 1 3.8%
4（2） 1 3.8% 25 96.2% 0 0%
5 16 61.5% 9 34.6% 1 3.8%
6 12 41.2% 12 41.2% 2 7.7%
7 25 96.2% 1 3.8% 0 0%
8 10 38.5% 16 61.5% 0 0%
9 4 15.4% 22 84.6% 0 0%
10 17 65.4% 6 23.1% 3 11.5%
11A 5 83.3% 1 16.7% 0 0%
11B 17 85.0% 2 10.0% 1 5.0%

表五：女性教师班级(总人数：65人，其中：A卷41人，B卷24人)
题号 正确
人数 正确率 错误
人数 错误率 空题
人数 空题率
1 34 52.3% 29 44.6% 2 3.1%
2 45 69.2% 20 30.8% 0 0%
3 34 52.3% 23 35.4% 8 12.3%
4（1） 46 70.8% 17 26.2% 2 3.1%
4（2） 8 12.3% 54 83.1% 3 4.6%
5 44 67.7% 20 30.8% 1 1.5%
6 15 23.1% 39 60.0% 11 16.9%
7 52 80.0% 9 13.8% 4 6.2%
8 15 23．1% 45 69.2% 5 7.7%
9 10 15.4% 49 73.4% 6 9.2%
10 29 44.6% 27 41.5% 9 13.8%
11A 22 53.7% 6 14.6% 13 31.7%
11B 15 62．5% 6 25.0% 3 12.5%
 从表中还可以发现，男性数学教师所教的学生的冒险精神也要好些，对不会的题目，他们也会写点自己的见解，而女性数学教师所教的学生往往比较细心，追求完美而不敢落笔。
三、讨论
 在数学教学过程中，学生思维的批判性表现为具有一种趣向和能力，即自觉地运用各种方法检验得到的初步结果，以及对归纳、分析和直接的推理过程进行检验后作出适当的调整。
 思维批判性较强的中学生还表现为善于订正和发现运算中的失误之处，找到症结所在，重新进行计算与思考。无疑的，这样的学生在数学考试中的正确率都比一般同学高。
 思维批判性的高层次表现为思维的论证性。论证性较强的同学不迷信书本，不盲从老师，而是耐心的和精心的探求足以进行某种判断的事实，追踪每一步的根据，去伪存真，最终正确揭示假设与结论之间的因果关系。
 遗憾的是，思维批判性的反面——无批判性却是目前大多数中学生的数学思维特点。表现在“老师布置什么就做什么，书上怎么写就照着做”，发现书上的错误就无所适从。作业或测验卷上的错处不认真订正，以至由轻信别人的结论而抄袭作业者触目皆是。这些都成为数学教学质量提高的严重障碍。[1]
 针对调查所得出的这些问题，通过参考以往一些专家的意见，本人在此提出这么几点措施，来对学生的批判性思维进行培养。
 1、注重培养学生的纠错能力
 1）可以出一些改错题让学生自行分析纠正。
 例1 若方程的解是正数，求a的取值范围.
 关于这道题，有位同学做出如下解答：
 解：去分母得   2x+a=-x+2.  化简，得   3x=2-a.
     故x=. 欲使方程的根为正数，必须，得a<2.
     所以，当a<2时，方程的解是正数.
 上述解法是否有误？若有错误请说明错误的原因，并写出正确解答；若没有错误，请说出每一步解法的依据.
 解：这位同学的解答过程有错误，因为该同学求出由分式方程所化得的整式方程的解后，就认为应为原方程的解，事实上，若时，原方程却没有解，故应将排除，解答过程应是：去分母得2x+a=-x+2，解这个方程得，由于原方程有正数解，故必有，且，从而a≠-4，且a<2.即当a<2，且a≠-4时，原分式方程的解为正数.
 对于以上类型题目，可以在师生互动下，得出正确答案。
 2）坚持“订正作业”。
 坚持“订正作业”的教学常规对发展思维的批判性也是大有神益的。
 学生在对自己作业的订正过程中，可以发现自己的错误，从而加以纠正。还可以让学生批改其他同学的作业，这不但可以让学生了解他们普遍存在的错误，还可以与自身进行对照，以免出现同样的错误，还可以促进师生沟通交流，减轻教师负担。
 2、运用对比和反例，培养学生辨析判断能力
 注意运用正反对比，辨别概念的差异，培养判断力。初中数学的正数与负数、常量与变量等都包含着对立统一的概念；加法与减法、乘方与开方等都是很明显的对立统一的运算。[2]运用正反对比，能引起学生的认知冲突，加深对概念的理解，培养学生敏锐的判断力，如学生不明确因式分解的意义，常把“超出了整式的范围的恒等变形”与“因式分解”混为一谈，如调查问卷中的T4（2），学生就是搞不清楚因式分解的定义，才导致错误率那么高。
 数学中有些问题，若从正面角度讲，学生会感到模糊，理解不透，甚至还会产生错误的判断。为了提高学生正确识别和判断的能力，教学时可突出反例，借此来提高学生认识错误的能力。[2]如平行四边形定理推论的逆命题（如问卷T10），许多学生都认为是正确的，但又无法证明，其实，它是一个假命题，只要构造一个反例即可说明。再如，有些学生在证明对角线相等后，即断定该四边形为矩形，实际上等腰梯形也具有这样的性质。因此在教学中，无论是否定学生答案，还是指出学生作业中的错误，最具说服力、最有效的办法莫过于举出反例。
 3、鼓励质疑提问，培养思维的批判性
 思维的批判性是创造性思维的一个重要特征，传统的数学教学照本宣科多，注入式讲授多，批判质疑少，讨论研究少，这就必然会影响学生思维能力的发展，抑制创造能力的培养。
 对于长期在这种缺少提问质疑机会的课堂教学环境中培育出来的学生，思维的创造性肯定会受到压抑。学生的提问质疑既可以锻炼其思维能力，而且在提问质疑的基础上让学生探讨问题的答案，还可以培养其主动学习、主动探索的精神，这对于创造能力的培养是非常有利的。[3]
 4、善于鼓励,努力创造宽松环境,注重培养学生对否定的自信和乐观
 批判活动往往脱离常规而突破规范,或多或少显得有些怪异,最初还有可能不被人们所理解和接受。所以数学教师应该鼓励学生们发挥想象力,哪怕是脱离常规,显得有些荒唐的想法。比如在讲到“图形的平移与旋转”的时候,要鼓励学生根据自己所学的知识,大胆想象提出自己的见解,尤其是对于没有定论的内容,更应该如此。
 5、注重培养学生的创新逆向思维能力
 逆向思维的基本特点是：从已有思路的相反方向去思考问题。如，考虑使用间接方法、考虑逆向思维、考虑研究逆命题、考虑问题的不可能性等。它有利于克服思维定势的保守性，常常可帮助学生寻求新的思路、新的方法，开拓新的知识领域，使学生对数学的学习，知识的巩固、联系及灵活运用增强了趣味性和动力感。在数学教学中，主要从以下几点内容来培养学生的逆向思维能力：[4]
 1）利用公式的可逆性，训练学生逆向思维；
 2）利用概念间互逆关系进行双向教学，培养学生逆向思维；
 3）从题设问题对立面寻求解题思路，培养学生逆向思维；
 4）用非常规方法，培养学生逆向思维；
 5）通过对数学定理逆命题叙述，判断和论证，培养学生逆向思维能力。
 例2 用反证法证明在△ＡＢＣ中，若∠Ａ=∠Ｂ，则ＡＣ=ＢＣ
证明：首先假设ＡＣ=ＢＣ不成立，则ＡＣ>ＢＣ或ＡＣ<ＢＣ．
 在△ＡＢＣ中，若ＡＣ>ＢＣ，则∠Ａ<∠Ｂ．
 在△ＡＢＣ中，若ＡＣ<ＢＣ，则∠Ａ>∠Ｂ．但这与已知条件∠Ａ=∠Ｂ矛盾．所以ＡＣ=ＢＣ
 综上所述，在数学教学中，注重对学生逆向思维训练，能拓宽学生解题思路，促进他们的思维由单一型向发散型思维发展，对培养和发展学生思维的批判性和创造性是十分奏效的。
 6、注重批判性思维与其他思维品质的联系
 一个具体教学现象的消长，往往很难确定是哪一个思维品质的表现，而是几个思维品质综合起作用的结果。思维的深刻性与广阔性分别从纵向和横向两个角度表现出思维的智力品质，它们是一切思维品质的基础。[6]思维的独创性首先是有灵活性，批判性所决定的，思维的独创性与敏捷性相结合就形成灵活性。思维的批判性是在深刻性的基础上发展起来的，而敏捷性是以其他思维品质为必要前提的，同时又是其他思维品质的具体表现。
 华罗庚说过：学习前人的经验，并不是说要拘泥于前人的经验，我们可以也应当怀疑与批评前人的成果。但怀疑与批评必须从事实出发。[5] 作为一个人民教师当务之急是加强自己知识结构的调整和教学观念的更新，勇于实践，敢于探索，提高学生的数学学习能力。因此，我们应将思维的批判性培养贯穿于整个教学过程之中。
参考文献
[1] 胡炯涛,马忠林.数学教学论[M].广西：广西教育出版社,1999.
[2] 张运宝.初中数学教学与思维批判性的培养[CAJ].湖北教育,1998,(5).
[3] 唐瑞芬,朱成杰.数学教学理论选讲[M].上海：华东师范大学出版社,2000.
[4] 贾文艳.浅谈数学教学中逆向思维的培养[CAJ].辽宁师专学报,2002,(3).
 [5] 周春荔.数学创新意识培养与智力开发[M].北京：首都师范大学出版社,2000.
[6] 胡炯涛,马忠林.数学教学论[M].广西：广西教育出版社,1999.

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