初中生数学思维品质特征与差异

  数学思维是对数学对象（空间形式、数量关系、结构关系等）的本质属性和内部规律的间接反映，并按照一般思维规律认识数学内容的理性活动。现代数学教学把发展学生思维提到了相当高的地位，形象地把数学比喻为“思维的体操”。 新的数学课程标准把“数学思考”作为数学教学的总体目标之一， 可见数学思维是教师教学的生命线，也是学生解题的灵魂。本人在初中任教多年，根据以往的教学积累和思考认为：数学思维能力的发展，在每个学生之间存在着一定的差异，而这种差异既有先天智力上的差异，更多的是教师在平时教学中培养的结果。优秀学生与一般学生的数学思维能力上，随着年龄的增长，知识的扩充差距愈来愈大。 为了展现优秀生数学思维的才华，帮助一般生进一步提高，本文对初中生数学思维品质特征作了一些研究和比较，供同行指正。
一、  数学思维的惰性和敏捷性
 思维的敏捷性是指思维过程中的简缩性与快速性，敏捷性使人能够适应在紧迫情况下进行思考，并迅速作出正确判断，思维的敏捷性也要求具有记忆的条理性，记在脑海里的知识能经久不忘，并能在需要时再现基础知识及经验的积累，从而使思维过程实现最优化路线。作为优秀学生，记忆、整理、论证、运算能快捷地同步实现，因此在一般学生看来是“立即看出了答案”； 而对一般学生而言在数学学习中思路不清晰, 不能随新的条件而迅速确定解题方向，不能改变先前的思维途径，找到新的解决问题的方法，表现为从一种解题途径转向另一种途径的惰性。
 例4  一个运动员推铅球，铅球出手时，离地面的高度为1米，铅球落地
点与铅球出手时相应的地面上的点相距10米，铅球运动中最高点离地面的高度是3米，已知铅球经过的路线是抛物线，求它的解析式（二次函数练习）。
 
  分析 ：一般同学与优秀同学思维敏捷区别之一：选择什么样的坐标系建立抛物线的路线，区别之二：选择一般式或顶点式或零点式求解析式，优秀生凭借自己知识经验的累积，论证的合理，运算的快捷，迅速否认了图1与图2，因此选择图3，建立顶点式，从而得知结果。此时一般同学对图4或图5左思右想认为是可求得抛物线的解析式，担始终不见结果。一般有下列3种建立方法，设A，B，C三点分别为铅球的出手点，铅球运行的最高点及铅球的落地点（其中虚线非铅球经过的路线）。
 从图3及已知条件和，可设顶点式：
 =(+)2+3，
 过，点，得=-，=-4，解析式为：
 =-2++（0≤≤10）
二、  数学思维的模糊性和深刻性
 思维的深刻性，它是一切思维品质的基础，一个数学问题的提出，经过观察思考，过程的提炼，在人脑中认识突变产生概括，抓住问题的本质，揭示问题规律性。优秀学生与一般学生在此表现出不同的思维品质，一般学生对关键信息感知把握不准，思维指向性模糊，观察只停滞在感知表象中，难以进入深一层的领域，即使撞上关键信息，也不能加工形成有价值的反馈信息，从而导致学生思维障碍。而优秀学生恰恰能洞察问题的实质，以及相互条件的必然联系，提示问题的深层，从而使问题迎刃而解。
 例1  如图4所示，半圆内接矩形ABCD，O为AB的中点，半圆半径为R，问矩形的长、宽各为多少时？矩形面积最大？最大值是多少（二次函数的应用练习）？
  分析  一般学生从条件及所问出发，
 设矩形长为，宽为，面积为S，则
 S=          （1）
 及     2 + 2 = R2， （2）
 而从所给的列式又难以达到想要的二次函数表达式；略胜一筹的学生改设矩形宽为，矩形长为2则有
 S=2·       （3）
 面对如此复杂的二次函数始终不敢肯定自己的路是否走对？以至失去了数学思维的连续性，而优秀学生在列出（3）式后，就有其看待=（x＞0）的深刻性；因此
 S = 2
 =2
 然后运用二次函数的知识，当2=时，即宽为，长为时，矩形面积有最大值，最大值为R2。
 例2  已知
 ，
 其中a·b≠0，求的值（二次根式综合练习）。
 分析   大部分学生都能知道条件给了隐含的a与b的关系，一般学生从所给的等式两边平方得2-25+1442=0，解得a=16b或a=9b；把关系式分别代入求出原式值为或，正好掉进了陷阱；优秀学生从所给的条件得：a+=2，从而有=a-12b＞0，因此有深刻的a＞12b，所以a=9b要舍去，原式值为，事后老师问优秀生：“为什么不一开始就等式两边平方？”他们回答说：“平方后会掩盖了某些问题。”原来他们一开始就有其深刻的预见。
三、 数学思维的线性和广阔性
 思维的广阔性指的是思路的广度，对一个问题能多方面的考虑。对一个对象能从多种角度观察，对一个问题能提出各种不同的解法，优秀生善于全方位、多角度、多层次地思考，而不是孤立的，局部的，零碎拼凑的思想，他们善于发现其间的共性和差异，能快速找到问题的突破口；一般学生由于思维的单一性，在分析综合，加工改造和抽象问题的过程中思维呈线性状态，顽固的线性思维导致思维过程常常受阻而中断。
 例3  在△中，
 (1)若∠= 90°,cos=,求sin的值；
 (2)若∠= 35°, ∠= 65°,试比较cos与sin的大小；
 (3)若此三角形为任意锐角三角形，能否判断出cos+cos+cos+sin+ sin+sin的大小，若能请证明你的结论，若不能，请说明理由（三角函数综合练习）。
 分析  此题在检查三角函数基础上着重要求学生有解决陌生问题的能力，一般的学生在顺利完成(1)(2)两个问题后，面对(3)陷入了僵局，或设三个角A，B，C为具体的角而判断，显然这样的说理没有说服力；优秀生对问题(3)表现的思维的广阔性，联想的丰富，足以让同学折服，下面分别列举二位。
 甲例：由于△是锐角三角形，则＞90°-，故有cos＜cos(90°-)= sin，同理可得：cos＜sin，cos＜sin，故有cos+ cos+ cos＜sin+sin+sin，思路清晰，简明扼要。
 乙例：如图5所示作锐角△的高，CD，
 则两高线必在△内部；可证∠=∠，
 所以∠＞∠，
 故cos＜cos(90°-)= sin，
 即cos＜sin，从而可得所要的结果，
 多角度的联想，简洁的论理。

四、 数学思维的惯性和严谨性
 思维的严谨性是指思维活动中严格地估计思维方向和精明检查思维过程的思维品质。优秀生表现为能运用各种方法检验得到结果，善于订正和发现运算中失误之处，找到症结所在，重新进行计算与思考。无疑这样的学生在数学考试中正确率都比一般同学高。思维严谨性高层次地表现为思维论证性，优秀生不迷信书本，不盲从老师，而是根据自己思维的论证过程，去伪存真，达到胜利的彼岸；一般学生伴随着思维的惰性而存在思维的惯性，他们在解数学题时，常尚未看清题意，见术语，便罗列公式，见数据，便代入演算，拼凑解答，缺乏分析问题和解决问题的严谨性。
 例5  已知一次函数=2-3的图像交轴于点A，一次函数=k+b图象交轴于点，且与直线=2-3交于点C，点C的纵坐标是5，△面积为16，求与的值。
 分析  此题为2005年我校初二期中考试“压轴题”，从试卷分析看得分率较低，一般学生由已知条件可得A(0,-3),B(0,),C(4,5),
 又∵    S△ABC=，
 =8，缺少周密的分析，惯性地认为＞0，因此有=3+=8，所以=5，=0，第二次缺少精细检查，比例系数不能取零，而优秀生从=8，原题中又无图，故考虑有两种可能性＞0或＜0，
 ∴ ，
 ∴ =5或=-11，
 故=5，=0（舍去），要求的值=-11，=4.
五、 数学思维的机械性和独创性
 优秀学生的思维独创性是指思维活动的方式不仅善于求同，更善于求异。这种创造性思维的特点，表现在概念的掌握与理解之上，不仅能将新知识新概念同化到以有的概念和知识系统中去，而且能利用新知识新概念去改造旧概念；表现在解决问题时，不死套公式，而是融会贯通多通道地，善于用简捷的方法解决问题；而一般学生由于缺乏独立思维能力，不能从不同的角度去观察问题，分析问题，对已有知识进行“再加工”，以“调整、改组和充实”，创造性地寻找独特简捷的解法，因循守旧、墨守成规、没有创新意识和创造想象力。            
 在学完初中第五册的复习课上，我上了一课用“韦达定理”思想解题的例题，优秀生上台板演后，让一般学生赞叹不已。
 例6  是方程x2-2x-1=0的两个根，且＞,不解方程，利用根与系数关系求+32的值。
 有位学生给出以下的解法：
 解  ∴,是方程x2-2x-1=0的两个根，
 ∵+=2， ·=-1，
 ＞,
 ∴-=  =2,
又设   =+32，N=+32，
故  + =2（）+3（+）2-6=14,  (1)
 -=2()+3(-)( +)=-8,  (2)
由（1），（2）得
 =（14-8），
即       +32=7-4
     板演后该生说：“从所给的韦达定理及要求的值，就觉得要求的值得补一点东西，才能用韦达定理，就是这一个“补”打开了天地，用漂亮的解方程思想得以圆满解决。
    以上讨论了初中优秀生和一般学生在数学思维特征和差异的几个方面。新的课程标准和教材为我们培养学生的创造性思维开辟了广阔的空间，只要老师做一个“有心人”，找准数学思维能力培养的突破口，教会学生思维的方法，善于调动学生内在的思维能力 ，使学生融会贯通地学习知识，养成独立思考的习惯，在教学实践启发学生积极思考，多思善问，引导学生参与对数学问题的观察、分析、猜想、尝试、推理、概括、判断、验证、探究等思维活动，消除思维的惰性、思维的惯性、思维的线性等思维障碍，让更多的学生具有优秀的数学思维品质。

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