一道2006年高考理综测试题的多种解法探讨

 原题（2006年高考全国Ⅰ卷理科综合能力测试第24题）一水平的浅色长传送带上放置一煤块（可视为质点），煤块与传送带之间的动摩擦因素为µ 。初始时，传送带与煤块都是静止的。现让传送带以恒定的加速度a0开始运动，当其速度达到v0后，便以此速度做匀速运动。经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，煤块相对于传送带不再滑动。求此黑色痕迹的长度。
 物理情景分析：本题可理解为两个质点同时运动，求它们相对位移的大小。对于煤块在摩擦力作用下由静止开始做匀加速直线运动，末速度为v0，对于煤块开始与传送带的接触点（A点），先由静止做加速度为a0的匀加速直线运动，当速度达到v0时，再以v0做匀速运动。解决本题的关键就是理清思路求出在煤块加速到v0这段时间t内，A点移动的位移与煤块移动的位移之差。下面笔者结合平时的教学实践介绍以下四种常用解法。
 解法一：（利用匀变速运动的基本规律求解）根据“传送带上有黑色痕迹”可知，煤块与传送带之间发生了相对滑动，煤块的加速度a小于传送带的加速度a0。由牛顿第二定律可得：a = µg  ①
 设经历时间t1传送带上A点由静止加速到v0，煤块则由静止加速到v则：v0 =a0t1    ②.      V = at1    ③
 由于a ＜ a0 ,故 v ＜ v0 .煤块继续受到摩擦力的作用，再经过t2煤块的速度由v增加到v0则：v0 = v + at2  ④  .
 此后煤块与传送带运动速度相同，相对于传送带不再滑动，不再产生新的痕迹。
 设在煤块由静止加速到v0的整个过程中，传送带上A点和煤块移动的距离分别为s1和s2 ，则：   ⑤，
   ⑥，
 传送带上留下的黑色痕迹的长度：△s = s1 – s2   ⑦
 由以上各式解得： 。
 以上解法是参考答案给出的解法，也是最基本的解法，但解题过程较繁。
 解法二：（利用平均速度公式及全过程法求解）因煤块由静止到速度增加到v0过程中一直以加速度a = µg 做匀加速运动，则所用时间： ，
 通过的位移： 。
 对传送带上的A点先以加速度a0由静止开始做匀加速运动，速度达到v0后又做匀速运动。则加速过程所用时间： ；
 匀速运动所用时间：；
 则A点在t这段时间内发生的位移：
 ；
 故： 。
 解法三：（利用速度图象求解）依据以上分析可在同一坐标系中作出传送带上的A点和煤块的速度图象，如图：
 
  由解法二： ；    ；
 则痕迹的长度应为图中ΔOCD的“面积”。即
  。
 解法四：（在非惯性系中求解）以煤块为参考系，可认为传送带上的A点先相对于煤块做初速度为零，加速度为：；
 的匀加速直线运动，经时间后A点相对于传送带的速度为： ；
 然后传送带上的A点又相对与煤块做匀减速运动，相对于煤块的末速度为0。整个过程的总的时间为：；
 则： 。
 除以上四种方法外，在求煤块的加速运动时间t时，可运用动量定理求出。求煤块加速运动的位移s2也可用动能定理求出。通过以上解法，要求教师在平时的教学中对学生应加强一题多解、一题多变的训练。这样可以培养学生多角度分析、解决问题的能力，拓宽解题思路，开阔视野，启迪思维，开发智力，达到学以致用的目的。

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