图6.2 单周期扰动重复控制补偿的控制系统
式中：
   
经过推导得到，的频率响应为
                                      (6.16)
 对于任意，在时为实数，它的相位对于任何皆为0，的幅值为
                                      (6.17)
假如，则
                              (6.18)
在低频时为1，在高频时为零。通过选择不同的和，可以得到不同的低通滤波器。
 图6.2中，是对象时延的和，不同的时延由不同的滤波器相对应。在很多情况下，周期信号的周期要远大于，即
                                                              (6.19)
是反馈控制器。偏差是重复控制器的输入，并将重复控制器的输出和偏差相加作为反馈控制器的输入。反馈控制器和被控对象结合在一起，作为增广对象。因此重复控制器的设计步骤是相同的。在下边研究中，控制器作为对象的一部分。
 下面的任务是设计补偿器使闭环系统鲁棒稳定。图6.2的控制系统通过上、下线性分式变换（将非建模部分和控制器部分分离出来）转换成标准鲁棒最优控制的线性分式形式，简称LFT形式，如图6.3，这样就可直接使用典型的优化软件进行设计。
 
                                                                 
图 6.3 单周期时的FFT形式         图6.4 图6.3的等效形式
 表面上看，利用标准的最优控制原理就可得到设计结果，但是，由最优控制原理，将和同阶，即阶次为。所以的阶次太大。
 由于离散时间周期为
 
式中：是连续周期信号的周期，是采样周期。因采样周期相对于小的多，所以离散周期会很大，带来严重的计算问题，影响在厚度控制系统中的应用。
 为了避开太大所造成的影响，将图6.3等效成图6.4。如果去掉项，控制器的阶次将和相同。为了实现此目的，引入不确定，稳定且范数小于或等于1，即
 且                                                (6.20)
可以看到，离散时间延迟稳定，且范数为1，即
 ，且范数                                      (6.21)
由式(6.20)和(6.21)，很明显，离散时间延迟 可视作的一种容许扰动，即
                                                           (6.22)
 利用不定替代图6.4的离散时间延迟，可以得到图6.5。这样就可利用结构奇异值原理分析图6.5并设计控制器。利用MATLAB标准分析及综合工具箱的数字软件就可得到结果。将图6.5等效为图6.6。图6.5和图6.6为SPRRC的设计框架。控制器的阶和的阶相同，即是和阶的和。
 

图 6.5 单周期的LFT形式设计框架

图 6.6 单周期的设计框图
单周期扰动鲁棒重复控制系统的稳定性
 
 
图 6.7  定理6.1的控制系统
假设为稳定、有理的传递函数：

下面引入以下定理证明图6.2所示的系统鲁棒稳定。
 定理 6.1   令，图6.7的闭环对于任意(其中)内部稳定，当且仅当满足下式条件才成立
                                                 (6.23)
根据小增益原理，很容易得出，定理6.1的稳定条件可以是
 ⑴                                                         (6.24)
 ⑵                                              (6.25)
系统鲁棒稳定性可以用下面几式描述
 
 
 
 定理 6.2   图6.2单周期扰动鲁棒重复控制(SPRRC)系统对于任意且，当满足下式时鲁棒稳定
                                                (6.26)
证明 由式(6.22)，是的容许扰动，于是有
                                                      (6.27)
由结构奇异值的定义，下式不等式成立
                      (6.28)
将式(6.26)和(6.28)合并，得到
                                              (6.29)
容易看出
 ，且                                        (6.30)
 由式(6.29)和式(6.30)，根据定理6.1知图6.4鲁棒稳定。由于图6.3和图6.4等价，可以证明图6.2所示的系统鲁棒稳定。证明完毕。
 于是单周期扰动数字鲁棒重复控制系统的设计步骤：
 ⑴ 将图6.2的延迟用图6.6的替代，并将其转化为图6.5的LFT形式；
 ⑵ 设计使系统鲁棒稳定的图6.5中补偿器，即满足                                            (6.31)
 利用MATLAB的分析和综合工具箱就可得到结果。
 ⑶ 将设计的返回到图6.2，系统将鲁棒稳定，实现重复控制的设计目标。
 此设计的目的就是降低的阶，内模原理所要求的还保留在图6.2中。是FIR滤波器的一项，很容易用数字信号处理器加以处理，计算时间也很短。然而，补偿器通常是很复杂的IIR滤波器，如果其阶次很高时其计算时间会很长。这也就是此降阶设计方法的优势所在。
 根据不等式(6.25)，很明显不等式(6.23)的条件仅是充分条件，而不是必要条件。由定理6.1可知，不等式(6.29)是鲁棒稳定的充分必要条件。式(6.26)约束就是因为和存在差别，如果差别很小，条件约束可放宽。
单周期扰动鲁棒重复控制系统约束条件分析
令
 
 
 
式中：
 定理6.3  下列不等式成立
 ⑴                          (6.32)
 ⑵                (6.33)
证明：第一个不等式显然成立，是的扰动。第二个不等式将替换为有：
                   (6.34)
 根据最大模原理，在时可得到上确界。假设上确界是在处得到，其中，则式(6.34)表达式可变为
                                              (6.35)
同样有
                       (6.36)
根据最大模原理，上确界将在时得到。假设上确界在得到，式中：，则上式等效为
                                             (6.37)
接着构造使渐进逼近。显然，可选择等于；对于任意，选择，即
                                                       (6.38)
如果
                                     (6.39)
则：
                                                     (6.40)
因此，必存在：
                                    (6.41)
从而：
 
如果
 ，即                   (6.42)
则
                                            (6.43)
综上，对于任意，如果
                                                       (6.44)
则有
                        (6.45)
所以，式(6.34)的值当时将渐进接近式(6.32)的值。第二个不等式条件得证。
推论 6.1当满足上述条件，在时，下列结论成立
 ⑴ 图6.2系统是稳定的；
 ⑵ 图6.6系统是稳定的。
证明 根据定理6.3，当时，有
                          (6.46)
根据小增益原理，结论⑴等同于
                                               (6.47)
结论⑵等同于
                                             (6.48)
得证。
 推论6.2下列不等式成立
 ⑴                   (6.49)
   ⑵                  (6.50)
证明 因为是的一种容许扰动，所以第一个不等式显然成立。
如果
                                                 (6.51)
根据定理6.1，图6.4系统稳定。由推论6.1，图6.5系统稳定。
 当时，由定理6.1，有
                                               (6.52)
于是，当时
                      (6.53)
结合(6.46)， 当时有
                 (6.54)
得证。
 通常，定理6.2的条件仅在SPRRC稳定时是充分条件。由推论6.2，当时该条件变为充分必要条件；或当增加，定理6.2的条件约束放宽时，该条件变为充分必要条件。定理6.2的这个特点很有用，如果较大，可利用SPRRC设计框架，如果较小，可直接用图6.3设计控制器。这种特点使定理6.2成为在较大时进行重复控制设计的有力工具。将重复控制系统转换为标准问题来研究，这样，鲁棒最优控制的优点也会体现在重复控制中。
 可以得出如下结论：当系统存在不确定时，SPRRC提供了鲁棒重复控制的分析和综合设计框架。控制器的阶次由降到被控对象的阶次。当时，SPRRC的充分条件将变为充分必要条件。
 单轧辊偏心(基波)扰动数字鲁棒重复控制系统
图6.8为单轧辊偏心(基波)扰动数字鲁棒重复控制抑制的厚度控制系统结构图，图中滤波器 ，其中；为支撑辊偏心的数字周期，为广义被控对象的数字化滞后时间，为数字PID控制器，它和实际对象结合成为广义被控对象； 分别为对象非建模态及其加权系数，且且；假设轧辊偏心模型为；轧机线性化模型为，采用流量AGC测厚反馈控制结构，且采取液压压下调节辊缝位置实现厚度控制，液压压下环节模型可以用如前所述的一阶惯性环节表示，取和前文相同参数，如果忽略速度检测和流量计算时间，此时控制对象连续时间域理想模型可以表示为：
                                                   (6.55)
式中：。

图 6.8 单轧辊偏心(基波)扰动鲁棒数字重复控制厚度控制系统
 将控制对象前加零阶保持器离散化。取仿真时间为1ms，按照前述的轧制规程及前述单周期的设计步骤，利用Matlab仿真进行仿真，对象结构奇异值最大值为0.978，系统厚度仿真波形见图6.9，重复控制器输出见图6.10。
 如果轧件硬度波动，系统增加硬度前馈，此时前馈模型为：
                                                   (6.56)
 假设硬度波动10％(加方波形式，周期2s)，提前时间压下，此时轧机厚度仿真结果见图6.11，重复控制器输出见图6.12.
 

图 6.9 单轧辊偏心扰动(基波)重复控制抑制时轧机出口厚度波形

图 6.10 重复控制器的输出波形

图 6.11 单轧辊偏心扰动重复控制及硬度波动时出口厚度波形

图 6.12 重复控制器的输出波形
基波及二次谐波扰动鲁棒数字重复控制系统  

图6.13 基波及二次谐波扰动时的鲁棒重复数字控制系统
 基波及二次谐波扰动鲁棒数字重复控制(BPRRC)系统结构见图6.13。图中增加以对二次谐波信号获得鲁棒特性。其它项如等和SPRRC相同。
系统的稳定性分析
BPRRC 的鲁棒稳定的设计任务就是设计控制器，以保证图6.13的闭环系统鲁棒稳定。将图6.13控制系统转换成如图6.14的LFT形式。为了降低控制器的阶次，将图6.14转换为图6.15。用不确定代替延迟，得到图6.16。图6.16的等效结构图为图6.17。图6.16和图6.17为BPRRC的鲁棒稳定结构。

   
 图6.14 系统的LFT形式           图6.15  图6.14的等效形式

图6.16 系统设计的LFT形式

图 6.17 系统设计结构
 BPRRC的鲁棒稳定性可用下面定理描述。
定义
 
 
 
 定理6.4   图6.13基波、二次谐波扰动的重复控制系统鲁棒稳定的条件是对于，有
                                                (6.57)
证明：由于是的容许扰动，因此有
                                                              (6.58)
根据结构奇异值的定义，可由式(6.57)推出以下不等式
                                                 (6.59)
容易得出
 ，                                                (6.60)
 应用定理6.1，如果满足式(6.59)和(6.60)，可得出图6.15的系统鲁棒稳定。因图6.13和图6.15等价，所以图6.13鲁棒稳定，得证。
 定理6.5  下列不等式成立
 ⑴                       (6.61)
 ⑵                (6.62)
 推理 6.3  如果满足上述条件，当时，有
 ⑴ 图6.13所示的系统稳定
 ⑵ 图6.17所示的系统稳定
推论 6.4  下列不等式成立
 ⑴                              (6.63)
 ⑵                          (6.64)
当时，由推理6.4，定理6.4的充分条件变为充要条件。
数字重复控制器的设计
 BPRRC重复控制系统的设计步骤
 ⑴ 用代替图6.13中的延迟，如图6.17；并将其转换为图6.16的LFT形式。
 ⑵ 设计控制器和，使图6.16系统稳定，即满足
 
 利用MATLAB的分析和综合工具箱就可得到结果。
 ⑶ 将所设计的和返回到图6.13，重复控制系统设计完成。
单轧辊偏心扰动(基波及二次谐波)鲁棒数字重复控制系统
 厚度控制时，单轧辊偏心扰动(基波及二次谐波)鲁棒数字重复控制系统采用图6.18的结构。轧辊偏心扰动。当被控对象为式(6.55)时，仍采用
前述轧制规程，其它条件如前述，利用matlab工具箱进行仿真，对象最大奇异值0.976，得到的轧机出口厚度波形见图6.19，重复控制器输出见图6.20。当被控对象模型为式(6.55)和(6.56)时，厚度仿真结果见图6.21，重复控制器输出见图6.22。

图 6.18单轧辊偏心扰动(基波及二次谐波)鲁棒数字重复控制系统
 

图6.19 轧辊偏心(基波及二次谐波)扰动时出口厚度波形

图6.20 重复控制器的输出波形

图6.21 轧辊偏心(基波及二次谐波)扰动时出口厚度波形

图6.22 重复控制器的输出波形

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