图 4.8 单轧辊偏心重复控制补偿厚度偏差波形

图4.9 支撑辊偏心重复控制补偿时入口张力偏差波形

图4.10 支撑辊偏心重复控制补偿时出口张力偏差波形
多轧辊偏心扰动重复控制系统
 前面所述的MIMO的系统结构可以推广到双轧辊偏心(双周期)以及多轧辊偏心(多周期)扰动厚度控制情况。由于双周期很容易推广到多周期情况。因此本节重点研究双周期扰动采用重复控制进行抑制的问题。
系统结构

图4.11 双周期偏心扰动重复控制补偿MIMO控制系统原理图
 图4.11为二轧辊偏心扰动重复控制抑制的厚度控制系统结构原理图，更多周期情况可以推而广之。图中为经过补偿后的广义被控对象传函矩阵，设为nxn的稳定矩阵，它的逆也是稳定的。没有重复控制环节的闭环传函也假设为稳定矩阵。是nxn稳定、有理的传函矩阵，且是严格正则的，是正则的。和上一章分析一样，两个重复控制器必须连接起来(见图中粗线)以保证系统稳定。可以是非对角矩阵，是对角矩阵，这样可以简化分析和设计。
系统稳定性分析
 由图4.11得：
  
经过变换得：
         (4.68)
考虑到：
                                  (4.69)
由于是对角的，式(4.68)可写为：
            (4.70)
因此有：
                             (4.71)
式中：
                     (4.72)
                            (4.73)
因此图4.11可以等价于图4.12。
 定理 4.2  由于是稳定的，如果输入是有界的，则根据小增益原理，如果闭环增益小于单位1，则该闭环系统是稳定的，是有界的。也即：
                                              (4.74)
式中：
                                            (4.75)
 由于矩阵的谱半径为矩阵的特征根绝对值的最大值，是稳定的，所以有界意味着系统偏差是有界的。除了和有关外，其它稳定条件类似于

图 4.12 图4.11的等价原理图
单周期输入的MIMO系统稳定条件。利用三角不等式和Cauchy~Shwartz不等式，同时因任何矩阵的相容范数不小于其谱半径即谱半径形成任何矩阵范数的下限，式(4.74)可以进一步简化，得到和周期相关的稳定条件。对于任意，考虑到
                                                           (4.78)
        (4.79)
当满足下式条件时，该双输入双输出(BIBO)系统稳定：
           (4.80)
式中为矩阵范数。
 和单周期时重复控制一样，为了满足上式的稳定条件，需在被控对象前加前置补偿器，使补偿后的广义对象成为对角主导的矩阵；选择使成为对角占优，且的元在频带内接近单位1；选择对角矩阵且在高频区具有快速衰减特性，同时因系统性能原因，在频带内选择接近于单位阵。
系统性能分析
由式(4.73) 得:
                           (4.81)
进行变换后得:
                  (4.82)
左乘，并因
                                                   (4.83)
式(4.82)得：
                 (4.84)
从而
                   (4.85)
系统灵敏度函数为：
                           (4.86)
式中：
 和前面所述一样，为了增强系统抑制干扰能力，灵敏度函数的最大奇异值应较小，尤其在低频时更应如此。有、无重复控制环节的灵敏度函数的最大奇异值的关系为：
                             (4.87)
式中：为矩阵
                                          (4.88) 
的最小奇异值；
分为矩阵
                                                        (4.89)
和
                                                        (4.90)
的最大奇异值；
 分为有、无重复控制环节的最大奇异值。
 重复控制使灵敏度函数改善的原因在于：在低频时取近似单位矩阵；的值在输入信号频率整数倍时很小；B按前述方法选取，则在低频时接近于1。由于频率为输入信号频率整数倍时，将远小于1，因此系统具有较强的扰动抑制能力和跟踪这些频率的输入信号的能力。
系统鲁棒性分析
 系统输出的补灵敏度函数为：
            (4.91)
灵敏度和补灵敏度函数关系为:
                                                       (4.92)
 较小的补灵敏度函数值可保证对象传函存在较大不确定时的系统稳定性，这种不确定可用乘积非结构不确定来表示。
                                     (4.93)
式中：是
                                                (4.94)
的最大奇异值。在高频时，系统的不确定性是很突出的。闭环系统传函矩阵的每项的幅值都接近于0，并且：
                           (4.95)
因此，当接近单位阵时，在信号频率的整数倍处变得很小，而变得较大。这样，为了保持对非结构不确定的鲁棒性， 必须具有低频特性。
系统设计及仿真
 根据上述分析，MIMO重复控制系统的设计步骤为：
 ⑴ 设计对象的前置补偿器，使补偿后的广义对象是对角占优的；
 ⑵ 选择为稳定、严格正则函数的矩阵，该矩阵接近于单位矩阵，并在高频区具有显著的衰减特性；
 ⑶ 选择为正则函数矩阵，且使为对角占优，在较宽频带内的对角元接近于1。

图 4.13 双轧辊偏心重复控制补偿厚度张力控制系统
 图4.13为厚度和张力重复控制系统结构图。结构类似于SISO重复控制系统，式中：
                                           (4.96)
                                     (4.97)
中的超前量是为了抵消分母的相移，以使其具有低通特性。中第一行第一列的超前项是为了补偿厚度传感器的滞后。图4.14、图4.15和图4.16分别给出厚度、后张力和前张力在偏心扰动下的仿真波形，仿真时，取，轧机速度为5米/秒，从图中可以看出，重复控制系统对偏心扰动具有明显的抑制作用。如果把降低一半以提高的频带，此时会出现系统不稳定，因为此时破坏了系统稳定条件。如果轧制速度增加到10米/秒，的带宽也应降低一半，以保证系统的稳定，此时的厚度、后张力和前张力的仿真结果见图4.17、图4.18和图4.19。一般来说，频带越宽，对偏心扰动的抑制越强，但这需选择较复杂的来保证系统稳定，否则会出现系统不稳定。
 

图4.14 双轧辊偏心重复控制补偿出口厚度偏差波形

图4.15 双轧辊偏心扰动重复控制补偿时的入口张力偏差波形

图4.16 双轧辊偏心扰动重复控制补偿时的出口张力偏差波形

图 4.17 双轧辊偏心重复控制补偿厚度偏差(出口速度10m/s)波形

图4.18 双轧辊偏心重复控制补偿后张力偏差(出口速度10m/s)波形

图4.19 双轧辊偏心重复控制补偿前张力扰动(出口速度10m/s)波形
 为了进一步简化重复控制器，本文提出2种简化的设计方式。第一种(简称方式1)
重复控制只对厚度进行控制，对于图4.13的结构，分别为：
                              (4.98)
                                          (4.99)
 第二种方式(方式2)的系统结构变为图4.20，重复控制仅作用于厚度环，但由于控制点在闭环的中间部分。和方法1(式(4.98))相同，
 选为：
                                    (4.100)
式中：等于图4.20中的逆(即)矩阵的第一行第一列值的倒数。控制系统稳定性的为：
                              (4.101)
 这样选择的原因是为了使的项接近于零。当轧制速度为5米/秒，轧辊偏心扰动为时，图4.21、图4.22、图4.23给出了
 

图4.20  方式2双轧辊偏心重复补偿系统
厚度、前张力和后张力的偏心扰动仿真结果。可以看出，方式2在重复控制抑制偏心扰动方面和方式1的控制效果一样，方式2同时也能抑制张力波动，而方式1和没有重复控制环节时一样，重复控制对张力波动不发生作用。抑制张力波动方面方式2比方式1好。这可从灵敏度函数比较上得到说明。方式1的灵敏度函数是式(4.86)，而方式2的灵敏度函数为：
        (4.102)   
在扰动信号频率处对灵敏度函数计算，方式2在扰动信号频率处灵敏度函数值既对厚度也对张力呈“峡谷式”下降，而方式1灵敏度函数仅对厚度呈“峡谷式”下降，对张力没有影响。
 方式1仅对厚度偏心扰动起抑制作用，是由于重复控制器仅给厚度环提供较大的增益。由于控制对象进行了解耦，厚度环的大增益对张力环没有影响，所以偏心扰动对张力的影响和没有重复控制环节时一样。
 方式2对偏心等扰动引起的厚度、张力波动具有抑制作用的原因在于，重复控制对扰动引起的厚度和张力变化产生“校正”作用，这种校正作用于反馈环信号匹配滤波器之前，该滤波器将保持校正作用直到抵消扰动影响。另外的设计方案是将校正放在之后，通过适当选择，也可消除厚度和张力扰动。但如果将校正放在第一通路非对角矩阵之前，将改变校正作用，对偏心引起的张力扰动没有抑制作用。
 可以得出结论，如果在厚度、张力环引入重复控制，将对偏心扰动引起的厚度、张力变化起到很好的抑制作用。
 

图4.21 方式2出口厚度波形

图4.22 方式2时后张力波动波形

图4.23 方式2时前张力波动波形
本章小结
 本章提出了适用于抑制轧辊偏心周期性扰动的MIMO重复控制厚度、张力系统。首先提出了单轧辊偏心周期性扰动的控制系统，采用逆奈奎斯特方法对被控对象进行了动态和静态解耦，解耦后的广义对象按照SISO方法进行控制系统的设计。同时对系统稳定性、系统性能、系统鲁棒性进行了详尽的理论分析，给出了简洁的设计方法，并进行了系统仿真，仿真结果也证明系统抑制轧辊偏心干扰的有效性；其次提出了多轧辊偏心重复控制抑制的MIMO厚度、张力控制系统，重点研究了双轧辊偏心扰动的MIMO重复控制系统，对系统稳定性、系统动态性能、系统鲁棒性进行了理论分析，给出了系统设计方法和步骤。仿真表明所提出的控制系统对抑制偏心扰动对厚度、张力等影响是有效的。最后提出两种简洁的厚度张力重复控制系统结构，并对系统进行了仿真，仿真结果两种方式对偏心引起的厚度波动都有抑制作用，方式2时重复控制对张力波动有抑制作用，而方式1对张力波动没有抑制作用。
周期不确定的轧辊偏心鲁棒重复控制系统
 通过前两章的分析及设计知道，重复控制对周期性扰动信号(基波及其谐波)的抑制是有效的。但它实现的前提是：或者扰动信号周期固定不变，或者其周期能被准确测量或辨识。在轧制过程中，因轧辊热膨胀或磨损等原因的存在，轧辊偏心信号的周期本质上是变化的。同时也可能存在偏心信号测不准情况。如果在偏心信号的周期不确定时还采用前述的重复控制模式，必然影响轧辊偏心的抑制效果。现在常用的方法是：在线测量外部信号，利用自适应方法预测信号周期。本章针对周期不确定问题，提出一种扰动周期不确定的鲁棒重复控制结构，这种结构对周期小范围波动不敏感，从而避免了复杂的频繁的计算过程。仿真结果证明该结构对周期小范围的轧辊偏心扰动有很强的抑制效果。
周期不确定轧辊偏心扰动的重复控制原理和结构
常规重复器的结构及其对周期不确定扰动抑制分析
 前两章厚度控制中，重复控制抑制偏心必须具备下面两个条件之一，第一，扰动信号的周期基本是常数(波动不超过；第二，扰动周期的测量或辨识必须准确。为了研究周期不确定情况，首先对重复控制的常规结构进行简要分析。
 

图5.1 重复控制系统的基本结构

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