图2.8  偏心控制系统框图(轧制状态建模)
带钢厚度控制模型
下面将给出厚度控制常用的数学模型[67～69]，并提出硬度前馈控制模型[1]。
带钢冷轧过程的基本方程
 ⑴ 塑性变形方程
 塑性变形方程即轧制力方程。金属在一定的轧制压力P下要产生塑性变形，同时轧辊自身将发生明显的弹性压扁，使接触弧长增加，又反过来影响到轧制压力。在研究轧制过程时，一般都采用Bland~Ford~Hill简化公式来计算轧制压力，即：
                (2.59)
 式中：l’是轧件与工作辊的接触弧长，用下式计算：
                                                (2.60)
式中：H、h分别是轧件的入口和出口厚度，是轧辊的压扁半径，可以用Hitchcock公式计算，其中＝2.1208×10－4〔毫米2∕公斤〕，B为轧件的宽度。
                                                 (2.61)
 是变形区的应力状态系数，用下式计算：
                                       (2.62)
式中：ε为变形程度，；μ为摩擦系数。
 是张力对轧制压力的影响因子，用计算式为：
                                                  (2.63)                      
式中：和分别为前后张应力；为常数，一般取3.33。
是轧件的平均变形抗力，可以用Sims公式描述：
                                                    (2.64)
 式中：
 
 
式中：是退火后的坯料厚度；是三个常数，其具体值根据材料而定。
 入口变形抗力为：
                                                (2.65)
 出口变形抗力为：
                                                  (2.66)
上两式中：和由材料特性决定，，，为经验补偿项。
 ⑵ 弹跳方程

图2.9 弹塑性曲线(P－H图)
在轧制过程中，轧辊对轧件施加轧制压力从而使之产生塑性变形。同时轧件也给轧辊以同样大小，方向相反的反作用力，并通过轧辊轴承、压下螺丝等零部件传到整个机架，使整个机座产生一定的弹性变形。这些零部件的弹性变形值总的反映在轧辊辊缝上，使辊缝增大，造成所谓的弹跳。按照胡克定律，轧机弹性变形与应力成正比，弹跳值为。由于轧机的弹跳，轧出的带材厚度h等于轧辊的空载辊缝S’加上轧机的弹跳值，即：
                                                        (2.67)
式中：为机架的纵向刚度系数。
 但上述弹性变形方程纯粹是理想的状况，实际上在压力小时弹跳和压力并不呈线性的关系。而且压力愈小，所引起的变形也愈难精确确定，即辊缝的实际零位很难确定。为了消除这一非线性区段的影响，实际操作中将轧辊预先压靠到一定程度，即压到一定的压力，然后将此时的辊缝指示定为零位，这就是所谓的“零位调整”。以后即以此为基础进行压下调整。这样轧件的出口厚度就变成：
  (2.68)
式中：S是考虑预压变形的等效空载辊缝，单位为毫米。
 在对轧机进行理论分析时，常将上式所表达的出口厚度随轧制压力P的变化规律用曲线形式反映出来，同时将轧件的塑性变形规律，即式(2.68)所表示的轧制压力与出口厚度关系，也在同一张图中绘出(如图2.9所示)。该图就称为轧机的弹塑性曲线，或简称为P~H图。P~H图非常直观的表达了轧制过程的各种关系，是分析带钢厚度变化和厚度控制问题一个重要工具。
 ⑶ 前滑和速度方程
 轧件在轧辊间发生塑性变形时，要相对于轧辊发生向前和向后的滑动，实际轧件的入、出口速度不等于轧辊的线速度， 因而产生所谓的前后滑现象。
 轧件的出口速度与轧辊的圆周速度(即通常所说的轧辊速度)以及前滑系数之间的关系为：
    (2.69)
 前滑系数f可以用Dresden公式描述。
                                               (2.70)
式中：γ为中性角，可以用如下的Bland~Ford公式计算。
                                 (2.71)
式中：为摩擦系数，其它各参数的含义同塑性变形方程。
 轧件的入口速度VH与轧辊速度VR，后滑系数φ也有类似的关系，但后滑系数φ相对较难计算。因此入口速度一般都利用轧件的出口速度和入、出口厚度，通过流量方程计算来获得，即：
                                                         (2.72)              
 ⑷ 轧制力矩方程
轧制力矩由Ford公式得：
            (2.73)
式中：、分为入口和出口轧件屈服极限，a、b为系数。
厚度反馈控制模型

                                                                                         
 图 2.10  位置内环                   图 2.11  压力内环
 ⑴ 位置内环厚度外环方式
 对常规的位置内环厚度外环方式，如图2.10，由于内环本身是位置环，厚度环只需给出位置给定即可。
                                                   (2.74)
式中：为辊缝零位(热膨胀及磨损)。式(2.74)反映了轧制力对出口厚度的影响，将其写成以下的增量形式：
                                                        (2.75)
金属压力方程可表示成如下的形式：
                                                 (2.76)
式中：分别为入口厚度、出口厚度、后张力、前张力、硬度和摩擦系数。对于一个具体轧件在轧机某一道次轧制时可以将认为是常数，因此对式(2.76)取全微分，忽略高次项取其线性主部，则有：
                                            (2.77)
将式（2.77）代入式（2.75）可得：
                                   (2.78)
整理得
                 (2.79)
又由于，为轧件塑性刚度系数，所以有厚度增量方程：
                                    (2.80)
即当原料具有及扰动时将产生厚差
                                                    (2.81)
                                                      (2.82)
为了消除此误差，应调节压下
          (2.83)
式中：为由各种扰动产生的总的厚差。
 ⑵ 轧制力内环厚度外环方式
 对轧制力内环厚度外环方式，如图2.11，计算较为复杂一些，由于内环为轧制力环，厚度环的输出为。的确定需分析各种外扰情况及其控制量变动。
 ①偏心干扰 为了消除偏心需采用恒轧制力控制，即当偏心使轧制力变化时，应自动调节压下，使轧制力回到设定值，这样就可消除偏心产生的厚差，因此对偏心干扰来说，不需在后加项，即。
 ②来料厚差外扰  将产生两个结果
 一是产生出口厚差
                                          (2.84)
二是产生轧制力变动
                                                    (2.85)
 ③ 来料硬度  它同样产生两个结果
                                                     (2.86)
                             (2.87)
即由或外扰产生的都等于。
 为了消除所产生的厚差，应移动压下
                                                     (2.88)
移动此将引起压力变化
                            (2.89)
因此应为
                                                 (2.90)
或是
 
                                (2.91)
式中 ：为轧机的弹性刚度系数，它在轧制过程中基本为一常数，只同板宽和支撑辊直径有关；为轧件塑性刚度系数，它决定于轧件的厚度、轧件材料和其加工硬化；为出口厚差可由弹跳方程或流量方程(或利用激光测速)求得。
前馈控制模型
 前馈是根据来料扰动计算出需要控制的以消除的影响，减少由其产生的。前馈的优点是可提前控制，可完全去掉信号检测及机构动作所产生的滞后，必要时可提前进行控制，使阶跃性得到更好的控制。
 当采用位置内环厚度外环时，由厚度方程可知：
                                            (2.92)
 由于情况控制无法实测，上式中已设以及。通过前馈控制，在存在情况下提前调节压下，使，因此
                                               
                                                       (2.93)
 利用机架前测厚仪实测后延时到具有此的该段带钢将进入变形区时再进行上式算得的进行控制，即给位置内环加上给定，如下图所示。
 
                  
                                   图2.12 前馈控制
                                                       (2.94)
 当采用轧制力内环厚度外环时，的计算需考虑两个分量。当轧件进入轧机后，来料厚差产生需在轧制力给定加以补偿。
                                                     (2.95)
轧件进入轧机后产生的厚差
                                                      (2.96)
为使此，需提前压下
                       (2.97)
此压下将引起轧制力变化
                        (2.98)
所以厚度外环应给轧制力内环的总的轧制力给定为
                                                      (2.99)
             (2.100)
式中：由机架前测厚仪实测，此实测应存贮到FIFO表中，表中数据随带钢运动而前移(或指针移动)。当具有此的该段将进入变形区时提前取出FIFO表中的通过上式求得，并与相加做为压力内环给定进行厚度控制，提前一段时间的目的是为了克服液压缸动作所需时间造成的滞后。
 目前大部分冷连轧AGC系统仅对入口厚差进行前馈，但实际上随着各机架压下控制必将逐渐减少。对成品精度更具威胁的是原料硬度波动，因为更具重发性，具有的该段的带钢进入每一机架时将产生新的厚差。
                                                      (2.101)
利用实测轧制力求出带钢各段并进行前馈不失为解决成品精度的控制方法。
 对各段带钢实测轧制力后，可用以下公式求出各段带钢
首先求出实际的
                                              (2.102)
其次再利用实测轧制力求出压扁后轧辊半径
                                        (2.103)
 设
式中：为设定计算所得的变形阻力(材料强度)
                                                       (2.104)
式中：都是实测的和实测的轧制力所算出的以及进行重计算。则用实测的张力算得。可根据下式求得前馈的值
                                                       (2.105)  

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