图4.3 解耦后采用PID控制时偏心扰动对出口厚度的影响

图4.4 解耦后采用PID控制时偏心扰动对前张力的影响

图4.5 解耦后采用PID控制时偏心扰动对后张力的影响
单轧辊偏心扰动重复控制系统
系统结构
 图4.6为单轧辊偏心MIMO重复控制补偿厚度、张力及速度控制系统结构原理图。图中为对象补偿后的nxn传递函数矩阵，为重复控制环节的nxn有理、稳定的传递函数矩阵，且是严格正则的，是正则的。为轧辊偏心等扰动信号。
 

图4.6 单轧辊偏心扰动重复控制补偿MIMO厚度、张力和速度控制系统
系统穩定性分析
 由图4.6有：
                               (4.44)
经过推导得：
                    (4.45)
即
                    (4.46)
图4.6可以等效为图4.7。

图4.7 图4.6的等效原理图
 定理4.1  对于如图4.6所示的重复控制系统，假设是稳定、正则的有理传函矩阵，为有理、稳定、严格正则的传函矩阵，如果满足下列条件，系统将渐近稳定，而且对于一有限输入，其偏差是可控且是有界的：
 ⑴                     (4.47)
是稳定的；
 ⑵                           (4.48)
式中：
                                             (4.49)
证明： 首先研究图4.6闭环系统的零输入响应的渐近稳定性。当时，系统可由具有延迟的微分方程表示：
                                            (4.50)
式中：表示严格正则矩阵的最小阶实现。
 考虑到式（4.47）的条件和是稳定的，可知是稳定的，进而特征根的实部为负。
式(4.50)对所有渐近稳定的充要条件为：
 ①                                              (4.51)
的所有根的实部为负；
 ② 对于所有的，下面不等式成立
                                           (4.52)
 要满足式(4.51)的条件，需要图4.6中的正反馈环对于渐近稳定。因稳定，并根据式(4.48)的条件，由乃奎斯特稳定判据可知该正反馈环是渐近稳定的。简化上式得：
        (4.53)
因是稳定的，根据式(4.48)的条件可知式(4.52)成立。
 因为下面几个公式在满足相应条件时成立
 ① 对于任何方阵成立；
 ② 对于成立；
 ③ 对于及有理矩阵成立；
 ④ 对于任意方阵X成立。
 所以根据式(4.48)可知式(4.52)成立，并且当时，图4.10所示的等价系统是渐近稳定的。
 因是严格正则传函矩阵，所以当时，。
 由于，是稳定的，所以是稳定的。因此对于有界的输入r(t)，图4.10等价闭环系统的等价输入也是有界的，同时因是稳定的，闭环系统也是渐进稳定的，偏差是有界的。(证毕)
 式(4.48)的条件要比Hara等提出的MIMO重复控制系统条件宽松。他们提出的条件是：的最大奇异值小于1。一般来说，矩阵的最大奇异值总是大于或等于最大特征根幅值，如果矩阵未加限定，两个条件的差别是明显的。Hara等提出的条件较为严格的原因是，在延迟对象的系统中，允许是正则的，而本章的控制系统中的被限定为严格正则的。需要指出的是，虽然被限定，但能增强系统的鲁棒性。
 由于经常设计成稳定的，保证系统渐近稳定的的的选取原则为：特征增益或的特征根幅值的谱函数在单位1以下。该条件是SISO重复控制系统结论的推广。特征增益就是MIMO重复控制系统的重构谱。对于较大的时间延迟，重构谱和MIMO系统的特征根的关系为：
                                 (4.54)
 因为未知，上式的优势在于重构谱涵盖所有特征根的值，在轴上每间隔估算一个根的位置。上式意味着，MIMO重复控制系统重构谱在任何频率幅值低于单位1，越低的幅值表征特征根越远离复平面虚轴左部，系统也就具有越高的稳定度。因此设计时，应适当选择以使幅值较低，以改善系统稳定性。
 的选择可按原理进行，该原理给出降低重构谱幅值的方法。假设选择为对角矩阵，如果的第j个对角元素为，为矩阵j行k列的元素。式(4.49)可写成：
            (4.55)
按照原理，的特征值应满足：
                               (4.56)
即
                                (4.57)
 该不等式喻示着，选择的原则为：选择矩阵元素使成为对角优势(或对角主导)矩阵，且对角元接近于1；为对角矩阵，且对角元的幅值应较小，以改善系统的稳定性。
系统品质分析
 图4.6中
                               (4.58)
整理得：
      (4.59)
由于
                               (4.60)
                                                   (4.61)
式(4.59)有：
                   (4.62)
从而输出为：
         (4.63)
因此可得系统在输出端的灵敏度函数为：
          (4.64)
式中：
                                                 (4.65)
该灵敏度函数的定义和式(4.42)有所不同的原因是反馈控制系统的扰动所处的位置不同。式(4.65)的灵敏度函数被用来检测对对象输出端的扰动信号的抑制能力。一般希望灵敏度函数具有较低的最大奇异值，特别在低频时要求系统具有较好的品质更是这样。Shaw指出，如果在低频时接近于单位矩阵，矩阵按前面章节提出的方法选取，则在输入扰动信号频率的整数倍处，奇异值远小于单位1，在这些频率上系统可得到较好的扰动抑制能力。和SISO重复控制情形一样，在削弱一些不希望的离散频率性能情况下，可使灵敏度函数在其它一些离散点的频率性能得到改善。
系统鲁棒性能分析
 系统在输出端补灵敏度函数为：
                  (4.66)

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