摘要：

    针对题目所提要求，我们建立了两个中国人口预测模型，分别用于对中国人口的发展趋势做短期和中长期的预测。

为了对中国人口发展做短期的预测，考虑到题目所给的数据资料的不全面，我们由马尔萨斯的人口指数增长模型得到启发，针对中国人口发展的特点，把出生率和死亡率函数这两大对人口增长起主要作用的因素作为建模的关键参数，在附件中没有给出中国近年总人口数的情况下，建立了短期内预测中国人口增长的微分方程模型。在该模型中，为了得到出生率和死亡率函数这两个重要参数，我们通过分析题目所给数据，提取出有效信息，计算归纳出2001年到2005年的出生率和死亡率，并在此基础上引入灰色模型，用于对出生率和死亡率进行预测，得出了出生率和死亡率关于时间的函数。较准确的估计出了人口增长的关键参数，使得建立的人口增长短期预测模型不仅符合中国人口的发展特点，而且简单易用，能在未知总人口数的情况下预测人口的相对发展变化，这一优点使得可以方便且准确的用于预测中国人口短期内的发展趋势。

为了对中国人口发展做中长期的预测，考虑到短期模型在预测人口中长期发展中的局限性以及影响人口发展的众多因素的不确定性和它们之间关系的复杂性，我们利用灰色动态模型的特点，从《中国统计年鉴》中查到了中国近年的人口总数（见附表一），把人口数做为灰色量，对原始各年人口序列进行分段建模，对各分段模型进行定性分析比较，根据各阶段宏观指标的相关确定一组适当的权数，进行预测模型的最优组合，以确定最优预测模型，从而建立了中长期预测中国人口增长的灰色动态系统人口模型，对中国人口进行了中长期的预测。

在对中国总人口进行短期和中长期的总体预测后，我们从附件中提取出城、镇、乡三地人口、男女出生性别比、妇女生育率、老龄人口比率等相关数据，对中国未来城、镇、乡三地人口比例、男女出生性别比、妇女生育率、老龄人口比率等影响人口发展的主要因素做趋势预测，从而达到了对中国人口全方位的预测。

关键词：出生率、死亡率、指数增长模型、灰色动态模型、性别比、老龄化、生育率。

一、 问题重述

中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。

近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1) 还做出了进一步的分析。

关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。

试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。

二、基本假设

1、把市镇乡看成独立封闭的系统，即不考虑迁入迁出的因素对人口的影响。

2、妇女的总和生育率设为1.8。

3、忽略经济，社会环境，资源等因素对人口的影响。

三、符号说明

　City(T):附件所给数据中的第T年城市人数

  Town(T):附件所给数据中的第T年城镇人数

  Village(T):附件所给数据中的第T年的乡村人数

  ：i=1,2,3分别表示城市，城镇，乡村男性比率

  ：i=1,2,3分别表示城市，城镇，乡村女性比率

  ：i=1,2,3分别表示城市，城镇，乡村男性死亡比率

  ：i=1,2,3分别表示城市，城镇，乡村女性死亡比率

  Deads：死亡人数

  Borns:出生人数

  ：育龄妇女比率(15岁～49岁) i=1,2,3分别表示城市，城镇，乡村育龄妇女比率

 ：i=1,2,3分别表示城市，城镇，乡村女性生育率

  T：年份

  t:年份表达变量

  b(t):出生率随时间变化的函数

  d(t):死亡率随时间变化的函数

  N(t):总人口数随时间变化的函数

：2001年人口数量（见附录一）

四、问题分析与建模及人口预测

中国人口增长的数学模型：

4.1 用于短期预测的模型：

根据附件所给材料中的数据，计算第T年的死亡人数及出生人数：

公式为：

Deads=City(T)*(M1*Md1+W1*Wd1)+Town(T)*(M2*Md2+W2*Wd2)+Village(T)*(M3*Md3+W3*Wd3)

Borns=City(T)*B1*Bc1+Town(T)*B2*Bc2+Village(T)*B3*Bc3

计算第T年的出生率b(t)=Borns/(City(T)+Village(T)+Town(T))

            死亡率d(t)=Deads/(City(T)+Village(T)+Town(T))

得如下表格：

对于序列X(t)={X(0),X(1),X(2)…X(n)}根据灰色模型中较常用的GM(1,1)模型：

       （1）

来预测b(t),d(t)的趋势。

（1）参数a,u的估计及X(t)预测方程的求解

将（1）写成，将t换为t+1并与原式做算术平均得：

      （2）

我们可以用差分DX(t)=X(t+1)-X(t)近似代替（2）式右端得：

记A=，用最小二乘法估计出系数矩阵A。A=。其中，

,(DX(t)=X(t+1)-X(t)) 

有了a,u的估计值之后，我们就可以求解（1）的微分方程。

（1） 式两端同乘以得，

可化为         （3）

两边取不定积分得=（c为待定常数）

解得X(t)= ，将t=0代入得c=X(0)- 。所以有X(t)预测方程：

X(t)=[X(0)- ]+。

（2）短期预测模型

将b(t),d(t) (t=0~4)的值代入上述GM(1,1)模型的X(t)中求解。

<1>对于b(t)={ 0.01740845, 0.016390372, 0.015774741, 0.016341515, 0.014339363}

得    

,即a=-0.21878,u=-0.00515288

得预测方程：

       (4)

<2>对于d(t)={ 0.00963373, 0.00936573, 0.00911349, 0.00896989, 0.00789073}

得预测方程

       (5)

所以增长率函数为

则对总人口数N(t)，有：

     （6）

且有初值条件N(0)= =12.7627亿人(为2001年的总人口数，由参考文献[]得)

解该微分方程（6）得：

   此式可用来预测短期内（附件所给数据截至2005年，预测期为2006~2011年）的人口趋势

4.2 用于中长期预测的模型：

　　鉴于影响人口发展的众多不确定因素，我们应用灰色动态模型GM(1,1).

为了得到最准确的预测结果，在选取数据年份和年数上，我们进行了认真的分析验证。数据筛选过程如下：

1、我们选取了1970—1980 和1980—1990这两段时间的人口数，带入灰色动态模型中，计算出1995-1999这个时间段的人口数，和查得的资料数据进行比较，得到表格如下：

结论1：年份越近，预测越准。

2、我们选取1989-1994 6年和 1988-1995　8年的时间段的人口数，带入灰色动态模型中，计算出1996-1999这个时间段的人口数，和查得的资料数据进行比较，得到表格如下：

结论2：年份越少，预测越准。

于是，我们选取1999-2004这六年的人口数据，带入到灰色动态模型中，得到灰色动态人口模型：

N(t)=17.6260714-17.73150933 (规定1999年时t=0)

并用该模型预测人口数如下：

4.3 人口迁移对人口增长的影响

由附件所给数据求得2001~2005年城市，城镇，乡村人口分别所占总人口的比例

K(T)=某区域（city or Town or Village）人口数据/总人口数据（City(T)+Town(T)+Village(T)）得如下表格：

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