摘要：

本论文讨论基于切片的血管三维重建问题。其背景是：采取存储二维切片信息，使用时再利用切片信息重建原物体三维形态的方法，可以有效地保存和利用三维信息。此技术在实际中有很大的用途，在医学和其他领域有广泛的应用。如要将人体全部三维信息，包含内部错综复杂的结构，完整地存储在计算机中，以现在的技术也是有一定难度的，但若改用存储人体切片信息，使用时重建再现的方法，则是利用现有技术可以解决的。

本论文基于题中对血管形态的假设，建立管道中轴线参数方程，并综合考虑实际情况中由于切片厚度及数字图像离散化带来的偏差，通过在每张切片图像中搜索其中阴影区域所能包含的最大圆面，确定管半径为R=29，在此基础上，将每张切片图像中阴影区域所能包含的半径大于等于R的圆面圆心作为中轴线与各切片交点（即中心点）的候选点集合。本模型使用了三种改进算法对该候选点集进行筛选以确定实际交点。最终迭代算法简述如下：

1． 对每个切片，建立中心点的候选点集，并取点集的中位点为中心点初值

2． 利用得到的中心点建立中轴线方程

3． 利用中轴线方程推导导数信息，根据导数信息比例选取中心点的候选点集的某点作为中心点的新值

4． 重复步骤2、3，直至结果达到较稳定状态为止

5． 输出中心点及中轴线方程

在模型建立中，对选取侯选点集、求中位点、利用导数信息进行比例选取均给出完整的算法，并且对半径确定、候选点选取、采用导数作为比例选取依据等问题给出详尽的证明。

考虑到实际血管的中轴线应充分光滑，计算最终中轴线参数表达式时采取了六阶多项式拟合。

最后用还原的血管形态模拟切片过程可以得到一系列数字图像，与原切片图像进行比较，可以检验模型的合理性及精度。

该模型最终计算结果如下。

血管中轴线示意图

从模型结果中看出，中心点分布均匀稳定，模拟检验的切片数字图像与原切片的数字图像吻合较好，模型结果精度及稳定性符合要求。

本模型算法简明，理论严密，比例选取算法使结果中心点尽可能收敛于真实中心点，迭代算法保证了结果的精度和稳定性，符合题目要求。

利用本模型可解决简单的切片三维重建问题，如应用于在医学、地质、地理等领域进行粗略的分析和三维重建。

一、 问题的提出及背景

断面可用于了解生物组织、器官等的形态。例如，将样本染色后切成厚约1m m的切片，在显微镜下观察该横断面的组织形态结构。如果用切片机连续不断地将样本切成数十、成百的平行切片，可依次逐片观察。根据拍照并采样得到的平行切片数字图像，运用计算机可重建组织、器官等准确的三维形态。

假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成。例如圆柱就是这样一种管道，其中轴线为直线，由半径固定的球滚动包络形成。

现有某管道的相继100张平行切片图像，记录了管道与切片的交面。为简化起见，假设：管道中轴线与每张切片有且只有一个交点，球半径固定，切片间距以及图像像素的尺寸均为1。

计算管道的中轴线与半径，给出具体的算法，绘制中轴线在XY、YZ、ZX平面的投影图。

二、 问题的分析

本问题属于基于切片信息的三维形态重建问题，根据所给的切片数字信息可以直接作图再现血管的三维形态，如下：

图1. 血管三维再现图

从上图中基本可以了解血管的三维形态，但由于显微镜的工作原理以及数字图像离散化会造成一定的阴影和误差，其实际形态与再现图是有一定偏离的。根据题中假设，假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线滚动的半径固定的球包络而成，该曲线称为中轴线，球半径也称为管半径。

本模型将基于上述假设重建血管的三维形态，使其精确化，参数化。示意图如下：

图2. 血管三维模型图

切片数字图像产生偏差的原因有两方面：

首先，数字图像离散化造成图像的分辨率有限，如题中给出图像像素尺寸为1。这将造成局部细节被忽略，距离相近的两个点被视为一个点，点之间距离被舍入等等偏差。本模型中根据实际情况假设距离舍入服从四舍五入原则。

其次，由显微镜的工作原理可知，一定厚度切片的显微图像是由其中所有组织的成像叠加而成的，而切片厚度是不可避免的，这将造成切片内不同层面图像的干扰，也就是说，每张切片图中的图像实际上是多个层面图像的叠加。然而，题中假设管道中轴线与每张切片有且只有一个交点，即不考虑切片厚度，因此以下叙述也将切片称为切平面，忽略其厚度。

由于所给原始数据是512512单色BMP图像格式，便于观察，但不便于模型处理，因此首先将图像转化为512512的二维0-1矩阵形式，其0-1分布与图像对应，1表示黑色像素点，左上角为，为记录第i张切片的图象信息的0-1矩阵，为方便起见，本文中也用来表示第i张切平面。为的集合，记为

跟据题中建立的坐标系，某点的0-1值与矩阵M中元素的对应关系为：

由假设，中轴线与每张切片有且只有一个交点，设该交点为，

根据题中建立的坐标系可以设
中轴线参数方称为，    其中
  由题设也可写为， 其中

因此中轴线与第i张切片的交点。

三、 模型的假设及符号说明

模型假设： 

一. 假设样本血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线的球滚 

动包络而成，球半径固定。

二. 假设管道中轴线与每张切片有且只有一个交点，即将切片视为无厚度的切平面。

三. 假设切片间距以及图像像素的尺寸均为1。

四. 假设管道中轴线处处连续，且充分光滑。

五. 假设两点间距离舍入服从“四舍五入”原则。

符号说明：

第i张切片的位图信息矩阵，为方便起见，有时也称其为第i个切平面

位图信息矩阵集合   

：管道中轴线参数方程，其中

：管半径，即沿中轴线滚动球的半径

：中心点，即管道中轴线与第i个切平面的交点，

根据上述方程可知，其中

：的候选点的集合，为定义在某切平面上所有被判定 

   为最大圆面的圆心

：，所有候选点的集合

四、 模型的建立及求解

模型的建立：

由以上分析，中轴线可以通过确定 的坐标来求得。因此问题即转化为如何确定 的坐标。

由于中轴线为球心滚动轨迹，因此为球心。而理想无厚度切片的图像为切平面与沿中轴线滚动的球体相交成的圆面叠加而成，即右图中各圆周的包络区域：

下面证明的命题对本模型有基础意义。

【命题一】：

在该包络区域中可容纳的最大圆面以为圆心，为半径。

【证明】：假设中轴线上存在另一点，以其为球心，以R为半径作球，则该球与此切平面相交成的圆面的半径不大于R，若为R，则可知与此切平面的距离为0，换句话说，在此切平面上。这与题设中轴线与每个切平面有且只有一个交点矛盾。因此可证明在该包络区域中可容纳的最大圆面是以为球心，以R为半径的圆。

图3.  某切面圆面叠加图

因此理论上可以通过寻找某切平面中包络区域可容纳的最大圆面来确定中轴线与该切平面的交点位置以及管半径。

具体算法如下：用来确定在某位图信息矩阵中以某点为圆心的最大圆面半径。流程图见附图五

步骤一：令r←0

步骤二：若以为圆心，R为半径的圆面包含在位图中，继续下一步骤，否则转步骤四

步骤三：r←r+1，转步骤二

步骤四：返回r-1

以下将对的选取和确定作进一步讨论：

【算法一】：将某一切平面所有的点代入，将求得的半径排序，选取半径最大的圆面圆心作为，循环即得所有中心点坐标及对应最大圆面半径。流程图见附图六。

使用该算法求得中心点坐标及对应最大圆面半径见附表一。所求出的构成中轴线的散点图及拟合曲线见图4：

图4.【算法一】散点图及拟合曲线

由假设，血管中轴线充分光滑，由此可用三次多项式拟合散点数据，中轴线参数解析表达式为：

从上图可以看出，由【算法一】得到的中轴线形态与血管三维再现图基本吻合，但光滑度较差，可以明显看出插值曲线局部存在折点，因此有必要对算法进行改进。

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